期权定价模型在资产价值评估中的应用练习及答案

期权定价模型在资产价值评估中的应用练习及答案1、三周前你买了一份100股看涨期权合约。该看涨期权的到期日自今天算起还有五周。在那天，标的股票的价格将是120元或95元。两种状态的出现是等可能的。目前，该股票售价为96元；其执行价格是112元。你能够购买32股股票。你能以10%年利率借到钱。你的看涨期权合约的价值是多少？2、假设戴尔塔运输公司股票在今天算起的一年后到期时只存在两种状态。到那天戴尔塔公司股票的价格将是60元或40元。今天戴尔塔股票以55元交易。看涨期权的执行价格是50元。你能以9%的利率借款。你愿意为此看涨期权支付的款额是多少？3、现有计算机普拉斯公司股票的看涨期权。该期权将于今天起的一年后到期，执行价格是35元。无风险利率是7%。计算机普拉斯公司股票正以每股37元出售，而你对股票收益方差的估计值是0.004。(1)利用布莱克-模型为该看涨期权定价。(2)你发现方差的估计值应该修改为0.0064。看涨期权的新价格应是多少？(3)在公布该公司即将关闭其在加利福尼亚的三家工厂后，股票价格跌至35元。利用(2)中的结果，该期权的新价格应该是多少？4、你已应顾客的要求确定他们将愿意为购买金斯利看涨期权而支付的最高价格。该期权具有执行价格25元，且在120天后到期。金斯利股票的现行价格是27元，无风险年利率是7%，股票的估计方差是0.0576。预期在下六个月期间没有任何股利被宣布。你的顾客应该支付的最高价格是多少？5、环球不动产合伙有限公司正在进行一个新项目。若该项目成功，一年后公司的价值将是6.5亿元，但若最终失败，公司将只值2.5亿元。公司的现有价值是4亿元。公司已公开发行的一年期债券的总面值为3亿元。短期国库券利率是7%。权益的价值是多少？负债的价值是多少？6、假设上一题中的环球不动产合伙有限公司决定实施一项较有风险的项目：一年后公司的价值要么是8亿元，要么是1亿元，这取决于计划是否成功。权益的价值是多少？负债的价值是多少？债权人更喜欢哪一个项目？7、某公司发行了５亿元的零息票债券，５年后到期。公司近些年来的利息和税前收入（EBIT）约为4亿元（税率为40%）。预计收入以每年5%的速度永续增长。公司不付红利。公司的股权资本成本为12%，加权资本成本为10%。可比公司价值波动的年标准差为12.5%（5年期国债利率为5%）。请你用贴现现金流和期权定价两种方法计算该公司的股权资本的价值。一、参考答案1、期权的有效期限为八周。假设到期日时股票价格是95元，则策略1放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略2的合计额也应该是0，由此我们可以计算出复制的借贷金额本金是2994元，而期权的有效期限为八周，借贷金额年利为10%。具体计算见表9-1。表9-1初始交易到期日盈利若股票价格是120元若股票价格是95元策略1：购进看涨期权（含100股的合约）执行看涨期权100×（120-112）=800放弃看涨期权0策略2：购进32股股票借贷2994元策略2的合计32×120=3840-2994(1+10%×8/52)=-30408003295=30402994(1+10%×8/52)=-30400由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值C=7829949632元。另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。策略1的净收益=800-C，策略2的净收益=32（120-96）-299410%*8/52（利息支出）=3224-46=722元因此看涨期权合约的价值C=800-722=78元2、期权的有效期限为一年。假设到期日时股票价格是40元，则策略1放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略2的合计额也应该是0，由此我们可以计算出复制的借贷金额本金是1835元，而期权的有效期限为一年，借贷金额年利率为9%。具体计算见表9-2。表9-2初始交易到期日盈利若股票价格是60元若股票价格是40元1、购进看涨期权100（60-50）=1000（含100股的合约）放弃看涨期权2、购进50股股票5060=3000借贷2994元-1835(1+9%)=-2000策略2的合计10005040=2000-1835(1+9%)=-20000由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值C=91518355550元。另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。策略1的净收益=1000-C，策略2的净收益=50（60-55）-18359%（利息支出）=505-165=85元因此看涨期权合约的价值C=1000-85=915元3、(1)运用布莱克－斯科尔斯模型计算，公式如下：C=SN（ｄ1）-EertN（ｄ2）ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]t2ｄ2=ｄ1-t2公式中：S—现行股价,股票价格S是37元；E—看涨期权的执行价格,执行价格E是35元；ｒ—连续无风险收益率（年度的）,无风险利率ｒ是0.07；2—股票的连续收益之方差（每年）,普拉斯公司的方差估计为每年0.004；ｔ—至到期日的时间（单位：年）,我们将以年为单位表示成ｔ＝1。此外，还有一个统计概念：N（ｄ）即标准正态分布随机变量将小于或等于ｄ的概率。利用上述五个参数，我们分三个步骤计算期权的布莱克－斯科尔斯值：步骤1：计算ｄ1和ｄ2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有:ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]t2=[ln(37/35)+(0.07+1/20.004)1]1004.0=(0.0556+0.072)/0.063=2.0254ｄ2=ｄ1-t2=2.0254-0.063=1.9624步骤2：计算N(ｄ1)和Ｎ（ｄ2）。值N（ｄ1）和N（ｄ2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。N(ｄ1)=N(2.0254)＝0.9786N（ｄ2）=N(1.9624)＝0.9751步骤3：计算C。我们有C=SN（ｄ1）-EertN（ｄ2）=37N（ｄ1）-35e107.0N（ｄ2）=370.9786-350.93240.9751=36.2082-31.8214=4.3868元(2)普拉斯公司的方差估计为每年0.0064时:步骤1：计算ｄ1和ｄ2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有:ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]t2=[ln(37/35)+(0.07+1/20.0064)1]10064.0=(0.0556+0.0732)/0.08=1.61ｄ2=ｄ1-t2=1.61-0.08=1.53步骤2：计算N(ｄ1)和Ｎ（ｄ2）。值N（ｄ1）和N（ｄ2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。N(ｄ1)=N(1.61)＝0.9463N（ｄ2）=N(1.53)＝0.9370步骤3：计算C。我们有:C=SN（ｄ1）-EertN（ｄ2）=37N（ｄ1）-35e107.0N（ｄ2）=370.9463-350.93240.9370=35.0131-30.5781=4.435元(3)普拉斯公司的股票价格S下跌至35元每股。步骤1：计算ｄ1和ｄ2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有:ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]t2=[ln(35/35)+(0.07+1/20.0064)1]10064.0=(0+0.0732)/0.08=0.915ｄ2=ｄ1-t2=0.915-0.08=0.835步骤2：计算N(ｄ1)和Ｎ（ｄ2）。值N（ｄ1）和N（ｄ2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。N(ｄ1)=N(0.915)＝0.8199N（ｄ2）=N(0.835)＝0.7981步骤3：计算C。我们有:C=SN（ｄ1）-EertN（ｄ2）=35N（ｄ1）-35e107.0N（ｄ2）=350.8199-350.93240.7981=28.6965-26.0452=2.6513元4、股票价格S是27元；执行价格E是25元；无风险利率ｒ是0.07；此外，距到期日的时间ｔ可以很快算出：公式要求ｔ以年为单位来表示，我们将120天以年为单位表示成ｔ＝120/365；金斯利公司的方差估计为每年0.0576。利用上述五个参数，我们分三个步骤计算期权的布莱克－斯科尔斯值：步骤1：计算ｄ1和ｄ2。我们可以将参数值直接代入基本公式来确定这两个值。我们有ｄ1=[ln(S/E)+(r+1/22)t]t2=[ln(27/25)+(0.07+1/20.0576)120/365]365/1200576.0=(0.0770+0.0325)/0.1376=0.7957ｄ2=ｄ1-t2=0.7957-0.1376=0.6581步骤2：计算N(ｄ1)和Ｎ（ｄ2）。值N（ｄ1）和N（ｄ2）可以通过查标准正态分布的概率表得出。N(ｄ1)=N(0.7957)＝0.7868N（ｄ2）=N(0.6581)＝0.7448步骤3：计算C。我们有C=SN（ｄ1）-EertN（ｄ2）=27N（ｄ1）-25e365/12007.0N（ｄ2）=270.7868-250.97720.7448=21.2436-18.1955=3.0481元5、买卖权平价关系用公式可以表述为：S+p-c=Xe)(tTr既S+p=c+Xe)(tTr公式中：T为期权有效期，t为有效期内已经过去的时间，X为股票期权的执行价格，S为股票的现行价格，r为无风险利率。它表明，具有某一确定执行价格和到期日的欧式看涨期权的价格可根据相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。用看涨期权和看跌期权来描述公司的股东权益和负债，我们可以把上述买卖权平价关系改写成：公司看涨期权价值=公司价值+公司看跌期权价值-无违约债券价值期权的有效期限为一年。假设到期日时公司价值是2.5亿元，则策略1放弃执行看涨期权；相应的与之等值的策略2的合计额也应该是0，由此我们可以计算出复制的借贷金额本金是2.044亿元，而期权的有效期限为一年，借贷金额年利率为7%。具体计算见表9-3。表9-3初始交易到期日盈利若公司价值是6.5亿元若公司价值是2.5亿元1、购进看涨期权6.5亿元-3亿元=3.5亿元放弃看涨期权2、购进0.875的公司0.8756.5亿元=5.6875亿元借贷2.044元-2.044亿元(1+7%)=-2.1875亿元策略2的合计3.5亿元2.5亿元0.875=2.1875亿元-2.044(1+7%)=-2.1875亿元0由于采取的是复制资产组合，且绝无套利可能，因此两个策略有相同的成本，得出看涨期权合约的价值C=456.1044.2875.04亿元。另外一种计算方法从两策略的净收益相同出发。策略1的净收益=3.5-C，策略2的净收益=(6.5-4)0.875-2.0447%（利息支出）=2.1875-0.143=2.044亿元因此看涨期权合约的价值C=3.5-2.044=1.456亿元,由前可知,公司的权益价值=公司看涨期权合约的价值=1.456亿元在得出公司看涨期权合约的价值后我们用买卖权平价关系公式计算公司看跌期权价值。代入买卖权平价关系公式S+p-c=Xe)(tTr即S+p=c+Xe)(tTr此时标的资产是公司本身。公式中：T为期权有效期，此时是1年；t为有效期内已经过去的时间,此时为0；X为公司看涨期权的执行价格，即公司发行的债券的面值3亿元；S为公司目前的价值4亿元；为无风险利率7%。求出公司看跌期权价值p=c+Xe)(tTr-S=1.456+107.03e-4=1.456+30.9324-4=0.2532亿元公司负债的价值=公司价值-公司看涨期权价值=4-1.456=2.544亿元或者公司负债的价值=无违约债券价值-公司看跌期权价值=107.03e-0.2532=30.9324-0.2532=2.544亿元两者的结果是一样的,由此也验证了买卖权平价关