控制理论lesson11-§18多变量系统的传递函数阵

§1.8多变量系统的传递函数阵一.传递矩阵的概念1.传递函数阵的概念在经典理论中，我们常用传递函数来表示单入、单出线性定常系统输入—输出间的传递特性。其定义是：零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。即或,)()()(sUsYsG)()()(sUsGsY对于双输入—双输出系统(见下图)。按输入的叠加性，将输出分别用两个方程表示出。如：u1(s),u2(s)为输入，y1(s),y2(s)为输出。Gij表示第i个输出与第j个输入之间的传函。1u2u11()Gs21()Gs12()Gs22()Gs1y2y)()()()()()()()()()(22212122121111sUsGsUsGsYsUsGsUsGsY表示成矩阵形式：111121221222()()()()()()()()YsGsGsUsYsGsGsUs122212)s(U)s(G)s(Y即则G(s)称为系统的传递函数阵或称传递矩阵。对于多输入、多输出线性定常系统，也可把传递函数阵的概念如上推广。设系统有r个输入变量，m个输出变量。则传递矩阵的形式为：)()()()()()()()()()(212222111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsmrmmrrGU(s):输入矢量.Y(s):输出矢量E(s):误差矢量G0(s):前向通道的传递矩阵H(s):反馈通道的传递矩阵2.闭环传递函数矩阵：系统闭环传递函数的概念也可推广到多输入—多输出系统中，称为闭环传递矩阵。设多输入—多输出闭环系统如下：()Us()Es0()Gs()Hs()YsF(s)-而)()()()()()(sYsHsUsFsUsE)()()()()()()(00sYsHsUsGsEsGsY)s(U)s(G)s(Y)s(H)s(GI00100G()()()()sIGsHsGs所以闭环传递矩阵为：故)s(U)s(G)s(H)s(GI)s(Y010左乘逆阵得10I)s(H)s(G()Us()Es0()Gs()Hs()YsF(s)-由结构图知：()(1,,,1,,)ijGsimjr表示第i个输出与第j个输入之间的传递函数。其中：2).传递矩阵是一个m×r阶矩阵，其一般形式为：1).矢量不能写成的比值形式。也不能任意交换运算顺序。如：几点讨论：()/()YsUs)()()()()(00sGsEsEsGsY)()()()()()()()()()(212222111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsmrmmrrG1122()0()()0()mmGsGsGsGs即表示系统的第i个输出只与第i个输入有关。与其它输入无关，实现了分离性控制。3).若传递矩阵是方阵(m=r),通过适当线形变换化为对角形，称为传递矩阵的解耦形式。例：机械位移系统设系统原处于静止状态。输入：F1,F2输出：Y1,Y2求传递矩阵。二.传递函数阵的求法：1.由微分方程的拉氏变换式求传递矩阵.解：写微分方程211211112()dydyymfkyFdtdt222122222()dydyymfkyFdtdt211121()()()msfskYsfsYsFs212212()()()msfskYsfsYsFs211111222212()()()()YsFsmsfskfsYsFsfsmsfsk写成矩阵形式：设初始条件为零，取拉氏变换：DuCxyBuAxx()()()()()()sXsAXsBUsYsCXsDUs)()(1sBUAsIsX1211222()msfskfsGsfsmsfsk得设零初始条件，取拉氏变换.2.由状态空间表达式求传递函数阵：已知状态空间表达式为:DBAsICsG1)(nnnasasAsIadjAsIAsIadjAsI111)()det()(][111111()()rnnnmmrGGCadjsIABDsIAGssasaGG可见是G(s)中每一项的分母多项式，故A的特征值就是G(s)的极点。)()(1sUDBAsICsY代入输出sIAuxxxx52131521212121xxy52131521)(11ssBAsICsG)4)(2(591252865311212sssssss解：求传递函数阵。例：已知标量系统：例：1.求出每个输出与各个输入的传递函数2.将结构图整理成从各个输入向各个输出前向传递形式.3.按图中输入—输出关系写传递矩阵.3.由系统结构图求传递函数阵：1u2u1G2GHy-即11212111GGGGGUY1221221GGGGUY211211)(UUGGsY1211)(GGsG1u2u11G12GYuY()Gs定理：线性变换不改变系统得传递矩阵.三.传递矩阵的性质：DDCPCBPBAPPA~,~,~,~11DBPAPPsPPCP1111DBPPAsIPCP111DBPPAsIPCP111)()(1sGDBAsIC则变换后：取线性变换P：1()GsCsIABD证明：设原系统的传递矩阵为：DBAsICsG1)(图1-44子系统串联)()()(111sssUGY)()()()()()()()()()(111212222ssssssssssUGUGGYGUGY四、子系统串并联组合系统传递函数阵图1-45子系统并联)()()(11sssUGY)()()(22sssUGY)()()()()()()()()()()()(212121ssssssssssssUGUGGUGUGYYY)()()(12sssGGG小结：三种数学模型的相互关系：ESOEFTMTED复域传递函数（阵）微分方程(组）时域状态空间表达式任N个状态变量.结论：传递矩阵对应确定输出输入关系.（唯一）结束