材料力学第七章习题选及其解答

7-2.在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab上的应力。应力单位为MPa。解：（a）（1）应力分量oxyyxMPaMPa3007070ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力MPaMPaxyyxxyyxyx6.6060sin270702cos2sin23560cos27070270702sin2cos22ατασστατασσσσσαα（3）应力圆（b）（1）应力分量oxyyxMPaMPa3007070ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力7070a)30o50100c)30o50100d)30o7070b)30o70-70στ(35,60.6)60o02cos2sin270270702sin2cos22ατασστατασσσσσααxyxxyxyxMPa（3）应力圆：为一点圆（c）（1）应力分量oxyyxMPaMPa60050100ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力MPaMPaxyxxyxyx7.21120sin2501002cos2sin25.62120cos2501002501002sin2cos22ατασστατασσσσσαα（3）应力圆(70,0)στ10050στ(62.5,21.7)120o（d）（1）应力分量oxyyxMPaMPa150010050ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力MPaMPaxyxxyxyx65300sin2100502cos2sin25.12300cos2100502100502sin2cos22ατασστατασσσσσαα（3）应力圆7-3.已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试用解析法和应力圆求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。解：（e）（1）应力分量MPaMPaxyyx20800τσσ（2）求主平面位置和主应力大小2080e)2030f)20100-50στ(-12.5,65)60ooooyxxytg7.76903.135.022000αασσταMPaMPaMPaMPaxyxyx7.8407.47.847.420)280(280)2(23212222minmaxσσστσσσσσσ（3）主平面位置及主应力方向（4）最大剪应力MPa7.4427.847.4231maxσστ（5）应力圆（f）（1）应力分量MPaMPaMPaxyyx203020τσσ（2）求主平面位置和主应力大小oooyxxytg3.109903.198.022000αασστασ1σ313.3oστ(0,20)(-80,-20)26.6o4.7-84.7MPaMPaMPaMPaxyxyx27037273720)23020(23020)2(23212222minmaxσσστσσσσσσ（3）主平面位置及主应力方向（4）最大剪应力MPa3222737231maxσστ（5）应力圆7-10.薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm，=2mm。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向，并用单元体表示。解：（1）A点的应力状态30oPPTTdδAστ(30,-20)(-20,20)38.6o37-27σ1σ319.3oσxτxy属二向应力状态，应力分量是MPaPatrTMPaPaAPxyyx6.70106.70102262600207.63107.631025020000692266ππτσπσ（2）斜截面的应力：MPaMPaxyyxxyyxyxo7.7240cos6.70240sin27.632cos2sin22.45240sin6.70240cos27.6327.632sin2cos22120ατασστατασσσσσααα（3）主方向oooyxxytg9.122909.3222.27.63)6.70(222000αασστα（4）主应力6.4503.1096.453.109)6.70()27.63(27.63)2(23212222minmaxMPaMPaMPaMPaxyyxyxσσστσσσσσσ（5）主单元体7-11.图示简支梁为36a工字梁，P=140kN，l=4m。A点所在截面在P的左侧，且无限接近于P。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力；（2）A点的主σ1σ332.9o应力及主平面位置。解：（1）A截面上的剪力和弯矩kNmPlMkNPQ1404702（2）A点的应力状态（3）截面几何性质mmtHhmmtmmbmmBmmHcmIcmWz4.32828.15101363601580087543（4）应力分量MPaHhbhHBbIQMPaIHMzxyyzx56.20)]164(2)(8[075.7942222τσσ（5）斜截面上的应力MPaMPaxyyxxyyxyxo25.242cos2sin213.22sin2cos2260ατασστατασσσσσαααl/2HPAl/2H/430oσxτxy（6）主方向oooyxxytg4.76906.13516.075.7956.20222000αασστα（7）主应力0.507.840.57.84)56.20()275.79(275.79)2(23212222minmaxMPaMPaMPaMPaxyyxyxσσστσσσσσσ7-13.二向应力状态如图所示，应力单位为MPa。试求主应力并作应力圆。解：（1）用垂直面截得其中oyMPaMPa305080ασσα（2）求应力分量MPaxoxxxyyxyxo400)60cos(2802802sin2cos225030σσσατασσσσσαα（3）主应力60o80508050ττσxσαταασy04080321σσσσσMPaMPaxy（4）应力圆7-16.试求图示各应力状态的主应力及剪应力，应力单位为MPa。解：（1）z面为一主平面，其上面的正应力为一主应力；（2）分析xy平面的应力分量MPaMPaMPaxyyx402030τσσ（3）求主应力大小MPaMPaMPaMPaMPaxyxyx2.42502.522.422.5240)22030(22030)2(23212222minmaxσσστσσσσσσ（4）最大剪应力MPa2.47231maxσστ7-17.列车通过钢桥时用变形仪量得钢桥横梁A点的应变为x=0.0004，y=-0.00012。试求A点在x-x和y-y方向的正应力。设E=200GPa，μ=0.3。Ayyxxστ804050402030b)xyz解：根据广义虎克定义：)(1)(1xyyyxxEEμσσεμσσε解得0)0004.03.000012.0(3.0110200)(180)00012.03.00004.0(3.0110200)(1292292xyyyxxEMPaEμεεμσμεεμσ7-18.在一体积较大的钢块上开一个贯通的槽，其宽度和深度皆为10mm。在槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，尺寸为10mm×10mm×10mm。当铝块受到压力P=6kN的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E=70GP,=0.33。试求铝块的三个主应力及相应的变形。解：（1）z方向的应力MPaPaAPz601060101010600066σ（2）x面是自由面，x方向的正应力为零，即0xσ（3）y方向的线应变为零MPaEzyxzyy8.19)60(33.00)]([1μσσσσμσε（4）x、y、z三个方向是主方向，主应力是MPaMPaMPazyx608.190321σσσσσσ101010Pxyz（5）三个方向的线应变和变形mmmlllmmmllEEzzyxxzyx333333369123336932111065.7101010765.001076.3101010376.010764.010)]8.190(33.060[10701)]([1010376.0]10)608.19(33.00[10701)]([1εΔΔεΔσσμσεεεσσμσεε7-19.从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。根据理论计算已经求得=30MPa，=15MPa。材料E=200GPa。=0.30。试求对角线AC的长度改变l。解：（1）应力分量MPaMPaxyyx15030τσσ（2）求30o和-60o斜截面上的正应力：MPaMPaxyxyxxyxyx5.5)120sin(15)120cos(2302302sin2cos225.3560sin1560cos2302302sin2cos226030ατασσσσσατασσσσσ（3）求30o方向的线应变30oστ25AC4696030301086.110)49.53.049.35(102001)(1σμσεE（4）求AC的长度变化mmmACl363430103.91028.91030sin251086.1εΔ7-25.某厚壁筒横截面如图所示。在危险点处，t=500MPa，r=-350MPa，第三个主应力垂直于图面是拉应力。且其数值为420MPa。试按第三和第四强度理论计算其相当应力。解：（1）危险点处的主应力为：MPaMPaMPa350420500321σσσ（2）按第三强度理论计算其相当应力MPar850350500313σσσ（3）按第四强度理论计算其相当应力MPar813)85077080(21])()()[(212222132322214σσσσσσσ7-26.铸铁薄管如图所示。若管的外径为200mm，厚度t=15mm，内压力p=4MPa，P=200kN。铸铁的抗拉许用压力[t]=30MPa，=0.25。试用第二强度理论和第一强度理论校核薄管的强度。σtσrp解：（1）应力状态（2）计算应力6.1307.227.222''6.134'17030200321MPaMPaMPatpDMPaDtPtpDmmDσσσσπσ（3）用第一强度理论校核][7.2211trMPaσσσ（4）用第二强度理论校核]]1.26)(3212trMPaσσσμσσ（5）结论：强度足够。PPptσ′σ″