极限知识点

高中数学第十三章-极极限限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13.极极限限知知识识要要点点1.⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个0n时结论正确；②假设当kn（0,nkNk）时，结论正确，证明当1kn时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设)(nP是一个与正整数n有关的命题，如果①当0nn（Nn0）时，)(nP成立；②假设当kn（0,nkNk）时，)(nP成立，推得1kn时，)(nP也成立.那么，根据①②对一切自然数0nn时，)(nP都成立.2.⑴数列极限的表示方法：①aannlim②当n时，aan.⑵几个常用极限：①CCnlim（C为常数）②),(01lim是常数kNknkn③对于任意实常数，当1||a时，0limnna当1a时，若a=1，则1limnna；若1a，则nnnna)1(limlim不存在当1a时，nnalim不存在⑶数列极限的四则运算法则：如果bbaabnnnlim,lim，那么①babannn)(lim②babannn)(lim③)0(limbbabannn特别地，如果C是常数，那么CaaCaCnnnnnlimlim)(lim.⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当1q时，无穷等比数列的各项和为)1(11qqaS.（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3.函数极限；⑴当自变量x无限趋近于常数0x（但不等于0x）时，如果函数)(xf无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于0x时，函数)(xf的极限为a.记作axfxx)(lim0或当0xx时，axf)(.注：当0xx时，)(xf是否存在极限与)(xf在0x处是否定义无关，因为0xx并不要求0xx.（当然，)(xf在0x是否有定义也与)(xf在0x处是否存在极限无关.函数)(xf在0x有定义是)(lim0xfxx存在的既不充分又不必要条件.）如1111)(xxxxxP在1x处无定义，但)(lim1xPx存在，因为在1x处左右极限均等于零.⑵函数极限的四则运算法则：如果bxgaxfxxxx)(lim,)(lim00，那么①baxgxfxx))()((lim0②baxgxfxx))()((lim0③)0()()(lim0bbaxgxfxx特别地，如果C是常数，那么)(lim))((lim00xfCxfCxxxx.nxxnxxxfxf)](lim[)]([lim00（Nn）注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.⑶几个常用极限：①01limxn②0limxxa（0＜a＜1）；0limxxa（a＞1）③1sinlim0xxx1sinlim0xxx④exxx)11(lim，exxx10)1(lim（71828183.2e）4.函数的连续性：⑴如果函数f（x），g（x）在某一点0xx连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(xgxgxfxgxfxgxf在点0xx处都连续.⑵函数f（x）在点0xx处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点0xx处有定义；②)(lim0xfxx存在；③函数f（x）在点0xx处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim00xfxfxx.⑶函数f（x）在点0xx处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点0xx处有下列三种情况之一时，则称0x为函数f（x）的不连续点.①f（x）在点0xx处没有定义，即)(0xf不存在；②)(lim0xfxx不存在；③)(lim0xfxx存在，但)()(lim00xfxfxx.5.零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数）（xf在闭区间],[ba上连续，且0)()(bfaf.那么在开区间),(ba内至少有函数)(xf的一个零点，即至少有一点（a＜＜b）使0)(f.⑵介值定理：设函数)(xf在闭区间],[ba上连续，且在这区间的端点取不同函数值，BbfAaf)(,)(，那么对于BA,之间任意的一个数C，在开区间),(ba内至少有一点，使得Cf)(（a＜＜b）.⑶夹逼定理：设当||00xx时，有)(xg≤)(xf≤)(xh，且Axhxgxxxx)(lim)(lim00，则必有.)(lim0Axfxx注：||0xx：表示以0x为的极限，则||0xx就无限趋近于零.（为最小整数）6.几个常用极限：①1,0limqqnn②)0(0!limanann③kaannkn,1(0lim为常数）④0lnlimnnn⑤knnkn,0(0)(lnlim为常数）