某大学概率论与数理统计期末考试试题4的详细解答

某大学《概率论与数理统计》期末试题4一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且()()0.5PAPB，()0.2PC，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为___________.答案：0.45解答：()()()PABCABCPABCPABC因为A与C不相容，B与C不相容，所以,ACBC，故ABCC同理ABCAB.()()()0.20.50.50.45PABCABCPCPAB.（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.答案：1/2解答：设A‘四个球是同一颜色的’，1B‘四个球都是白球’，2B‘四个球都是黑球’则12ABB.所求概率为22212()()(|)()()()PABPBPBAPAPBPB22223322122222555533(),()100100CCCCPBPBCCCC所以21(|)2PBA.（3）设随机变量X的概率密度为2,01,()0,xxfx其它,现对X进行四次独立重复观察，用Y表示观察值不大于0.5的次数，则2EY___________.答案：5/4解答：~(4,),YBp其中10.522001(0.5)24pPXxdxx，113341,44444EYDY，2215()144EYDYEY（4）设二维离散型随机变量(,)XY的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2XYPab若0.8EXY，则Cov(,)XY____________.答案：0.1解答：(,)XY的分布为XY1200.40.10.510.20.30.50.60.4这是因为0.4ab，由0.8EXY得0.220.8b0.1,0.3ab0.620.41.4EX，0.5EY故cov(,)0.80.70.1XYEXYEXEY.（5）设1217,,,XXX是总体(,4)N的样本，2S是样本方差，若2()0.01PSa，则a____________.（注：20.01(17)33.4,20.005(17)35.7,20.01(16)32.0,20.005(16)34.2）答案：8解答：2216(){4}0.014SPSaPa即20.01(16)4a，亦即432a8a.二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设A、B、C为三个事件，()0PAB且(|)1PCAB，则有（A）()()()1.PCPAPB（B）()().PCPAB（C）()()()1.PCPAPB（D）()().PCPAB（）答案：C解答：由(|)1PCAB知()()PABCPAB，故()()PCPAB()()()()()()()1PCPABPAPBPABPAPB应选C.（2）设随机变量X的概率密度为2(2)41(),2xfxex且~(0,1)YaXbN，则在下列各组数中应取（A）1/2,1.ab（B）2/2,2.ab（C）1/2,1ab.（D）2/2,2.ab（）答案：B解答：222[(2)](2)2(2)411()222xxfxee即2~(2,2)XN故当12,222ab时~(0,1)YaXbN应选B.（3）设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为010.40.6XP010.40.6YP则有（A）()0.PXY（B）()0.5.PXY（C）()0.52.PXY（D）()1.PXY（）答案：C解答：()(0,0)(1,1)PXYPXYPXY0.40.40.60.60.52应选C.（4）对任意随机变量X，若EX存在，则[()]EEEX等于（A）0.（B）.X（C）.EX（D）3().EX（）答案：C解答：[()]EEEXEX应选C.（5）设12,,,nxxx为正态总体(,4)N的一个样本，x表示样本均值，则的置信度为1的置信区间为（A）/2/244(,).xuxunn（B）1/2/222(,).xuxunn（C）22(,).xuxunn（D）/2/222(,).xuxunn（）答案：D解答：因为方差已知，所以的置信区间为/2/2(,)XuXunn应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设A‘从箱中任取2件都是一等品’iB‘丢失i等号’1,2,3i.则112233()()(|)()(|)()(|)PAPBPABPBPABPBPAB222554222999131221059CCCCCC；所求概率为111()(|)3(|)()8PBPABPBAPA.四、（10分）设随机变量X的概率密度为1,02,()0,.axxfx其它求（1）常数a；（2）X的分布函数()Fx；（3）（3）(13).PX（4）解：（1）222001()(1)()222afxdxaxdxxxa∴12a（2）X的分布函数为00,0,()()(1),02,21,2.xxxuFxfududuxx20,0,,02,41,2.xxxxx（3）32111(13)()(1)24xPxfxdxdx.五、（12分）设(,)XY的概率密度为0,,(,).0,xyxefxy其它求（1）边缘概率密度(),()XYfxfy；（2）(1)PXY；（3）ZXY的概率密度()Zfz.解：（1）00,0()(,),0.xXxxfxfxydyedyx0,0,,0.xxxex0,0()(,),0.Yxyyfyfxydxedxy0,0,,0.yyey（2）11201(1)(,)yxyxyPXYfxydxdyedxdy1111220()12yyeeedyee.x+y=1yy=xx0（3）()(,)Zfzfxzxdx,0,2,(,)0,.xexxzxfxzx其它当0z时()0Zfz0z时22()zzxzzZfzedxee所以20,0,(),0.zZzzfzeez六、（10分）（1）设~[0,1]XU，~[0,1]YU且X与Y独立，求||EXY；（2）设~(0,1),~(0,1)XNYN且X与Y独立，求||EXY.解：（1）||(,)||EXYfxyxydxdy111000()()xxxydxdyyxdxdy13；（2）因,XY相互独立，所以~(0,2)ZXYN~(0,1)22ZXYN22XYE，所以2||EXY.zyz=xx0z=2x11yx0七、（10分）设总体的概率密度为101,,(;).0,xxfx其它(0)试用来自总体的样本12,,,nxxx，求未知参数的矩估计和极大似然估计.解：先求矩估计1101EXxdx111故的矩估计为1XX再求极大似然估计11111(,,;)()nnniniLxxxxx1lnln(1)lnniiLnx1lnln0niidLnxd所以的极大似然估计为111lnniixn.