教案--第四章矩阵的特征值

物流学院2015—2016学年度第1学期线性代数课堂教学方案授课年级2014专业层次会计学本科授课班级1、2、3、4班授课教师2015年8月28日《线性代数》教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第四章矩阵的特征值第一节向量的内积教学目的、要求（教学目标）⑴了解向量内积、正交的概念⑵掌握规范正交基的求法教学重点与难点规范正交基的求法教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质.在空间解析几何中，向量},,{321xxxx和},,{321yyyy的长度与夹角等度量性质可以通过两个向量的数量积),cos(||||yxyxyx来表示，且在直角坐标系中，有332211yxyxyxyx,232221||xxxx.本节中，我们要将数量积的概念推广到n维向量空间中，引入内积的概念内容要点一、内积及其性质定义1设有n维向量理论讲解45分钟，习题选讲25分钟，练习、答疑20分钟,,2121nnyyyyxxxx令,],[2211nnyxyxyxyx称],[yx为向量x与y的内积..注：内积],[yx有时也记作yx,.内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数,按矩阵的记法可表示为.),,,(],[2121nnTyyyxxxyxyx内积的运算性质(其中yx,,z为n维向量,:)R(1)];,[],[xyyx(2)];,[],[yxyx(3)];,[],[],[zyzxzyx(4)0],[xx;当且仅当0x时,0],[xx.二、向量的长度与性质定义2令,],[||||22221nxxxxxx称||||x为n维向量x的长度(或范数).向量的长度具有下述性质:(1)非负性0||||x;当且仅当0x时,0||||x;(2)齐次性||||||||||xx;(3)三角不等式||||||||||||yxyx;(4)对任意n维向量yx,,有||||||||],[yxyx.注:若令),,,,(),,,,(2121nTnTyyyyxxxx则性质(4)可表示为niiniiniiiyxyx12121上述不等式称为柯西—布涅可夫斯基不等式，它说明nR中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系.当1||||x时,称x为单位向量.对nR中的任一非零向量,向量||||是一个单位向量,因为.1||||||||1||||注:用非零向量的长度去除向量,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量单位化.当,0||||,0||||定义)0(||||||||],[arccos.称为n维向量与的夹角.三、正交向量组定义3若两向量与的内积等于零，即0],[，则称向量与相互正交.记作.定义4若n维向量r,,,21是一个非零向量组，且r,,,21中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.定理1若n维向量r,,,21是一组正交向量组，则r,,1线性无关.四、规范正交基及其求法定义5设nRV是一个向量空间，①若r,,,21是向量空间V的一个基，且是两两正注:若0,则与任何向量都正交.交的向量组，则称r,,,21是向量空间V的正交基.②若reee,,,21是向量空间V的一个基,ree,,1两两正交,且都是单位向量,则称ree,,1是向量空间V的一个规范正交基(或标准正交基).若ree,,1是V的一个规范正交基,则V中任一向量能由ree,,1线性表示,设表示式为rreee2211,为求其中的系数),,,2,1(rii可用Tie左乘上式,有,iiTiiTieee即],[iTiiee这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正交基ree,,1下的坐标为：).,,,(21r因此,我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基.规范正交基的求法:设r,,1是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基,也就是要找一组两两正交的单位向量ree,,1,使ree,,1与raa,,1等价.这样一个问题,称为把r,,1这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行：(1)正交化.],[],[],[],[],[],[;],[],[;111122221111111212211rrrrrrrrr容易验证r,,1两两正交,且r,,1与r,,1等价.注:上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.它满足对任何)1(rkk,向量组k,,1与k,,1等价.(2)单位化:取,||||,,||||,||||222111rrreee则reee,,,21是V的一个规范正交基.注：施密特(Schimidt)正交化过程可将nR中的任一组线性无关的向量组r,,1化为与之等价的正交组k,,1；再经过单位化，得到一组与r,,1等价的规范正交组reee,,,21五、正交矩阵与正交变换定义6若n阶方阵A满足EAAT(即TAA1),则称A为正交矩阵,简称正交阵.定理2A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是单位正交向量组.定义7若P为正交矩阵,则线性变换Pxy称为正交变换.正交变换的性质：正交变换保持向量的长度和内积不变.例题选讲例1设,014,131,121321试用施密特正交化方法,将向量组正交规范化.注：由EAAT与EAAT等价,定理的结论对行向量也成立.即A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是单位正交向量组.例2已知三维向量空间中两个向量,11111212正交，试求3使1，,23构成三维空间的一个正交基.例3判别下列矩形是否为正交阵..9/79/44/49/49/19/89/49/89/1)2(;12/13/12/112/13/12/11)1(作业与课外训练1.试将线性无关的向量组正交化,)1,1,1,1(1T,)1,1,3,3(2TT)8,6,0,2(3.2.已知,1111求一组非零向量32,,使321,,两两正交.P12124⑵课外阅读资料或自主学习体系安排1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093.，麻省理工公开课：线性代数课后小结本节介绍了向量内积以及正交的概念，特别是向量组基的规范正交化转化方法要牢记。《线性代数》教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第二节矩阵的特征值与特征向量教学目的、要求（教学目标）⑴了解矩阵特征值、特征向量等概念⑵掌握求二阶矩阵特征值和特征向量的方法⑶熟悉矩阵特征值、特征向量等有关性质教学重点与难点矩阵的特征值、特征向量及其基本性质教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容导入在经济活动中，经常涉及到经济计算问题，在计算过程中常常遇到求特征值及特征向量，因此特征值和特征向量的概念不仅在理论上重要，而且可以用来解决实际问题。自本节开始直到课程结束，将讨论一个问题：线性变换（矩阵、线性方程组）在不同基下的不同表现形式问题—对角化（矩阵相似）。前面涉及到的矩阵表现形式：一般矩阵——行阶梯形矩阵——行最简形矩阵——标准型（等价）~AB：可逆矩阵,PQ，满足PAQB若：,PQ为方阵且互为逆矩阵时，上述结果又会如何呢？（在一定条件下，矩阵B是对角矩阵，此时矩阵,AB互为相似矩阵），那么这个条件是什么？接下来章节将要介绍。在此结论成立条件下：1PAPB，其中理论讲解45分钟，习题选讲40分钟，练习、答疑5分钟12nB即APPB令12,,,nPPPP，则有121212,,,,,,nnnAPPPPPP，即121122,,,,,,nnnAPAPAPPPP，因此有,1,2,,iiiAPPin这就是我们这节课将要讨论的内容——特征值与特征向量。内容要点一、特征值与特征向量定义1设A是n阶方阵,如果数和n维非零向量X使XAX成立,则称数为方阵A的特征值,非零向量X称为A的对应于特征值的特征向量（或称为A的属于特征值的特征向量）.注：1.n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组0)(xAE有非零解的值,即满足方程0||AE的都是矩阵A的特征值.称关于的一元n次方程0||AE为矩阵A的特征方程，称的一元n次多项式||)(AEf为矩阵A的特征多项式.根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设i为方阵A的一个特征值，则由齐次线性方程组0)(xAEi可求得非零解ip，那么ip就是A的对应于特征值i的特征向量，且A的对应于特征值i的特征向量全体是方程组0)(XAEi的全体非零解。即设sppp,,,21为0)(XAEi的基础解系，则A的对应于特征值i的特征向量全体是sspkpkpkp2211skk,,(1不同时)0.二、特征值与特征向量的性质性质1n阶矩阵A与它的转置矩阵TA有相同的特征值.性质2设)(ijaA是n阶矩阵，则nnnnnnaaaaaaaaaAEf212222111211||)(||)1()1(11ASanknkkniinin其中kS是A的全体k阶主子式的和.设n,,,21是A的n个特征值，则由n次代数方程的根与系数的关系知，有(1);221121nnnaaa提问：矩阵A的特征值与矩阵的行列式|A|之间有什么关系？(2).||21An其中A的全体特征值的和nnaaa2211称为矩阵A的迹,记为)(Atr.*性质3设)(ijaA是n阶矩阵,如果(1)),,2,1(1||1nianjij或(2)),,2,1(1||1njaniij有一个成立,则矩阵A的所有特征值i的模小于1,即),,2,1(1||nii定理1n阶矩阵A的互不相等的特征值m,,1对应的特征向量mppp,,,21线性无关.注：1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的;2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.例题选讲例1求矩阵1513A的特征值和特征向量.例2设,314020112A求A的特征值与特征向量..例3求n阶数量矩阵aaaA000000的特征值与特征向量.例4试证:n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.注:此例也可以叙述为：n阶矩阵A可逆它的任一特征值不为零.例5设是方阵A的