数二考研线代公式

第一章1.1行列式展开式1.1.1定义1.1.2按行按列展开1.1.3上下三角行列式1.1.4副对角线1.1.5拉普拉斯展开式设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵1.1.6特征值形式1nD[a(n1)b](ab)nabbbbabbbbabbbba1.2公式BAABAAAAABAAAkkAAABAnnnnT相似的特征值，则为均为方阵，以下n1iii1*A,B第二章2.1矩阵运算2.1.1矩阵乘法运算2.1.1.1.OAOOAAEAAEklABlBkABCACCBAACABCBACABBCA)()()()()()(2.1.1.2.22222222B2)(B2BBA))((B)(ABAAAEAABAABABABAAB但一般2.1.1.3.CBACAB,)(rAOAAC,ABOB则由矩阵，为但若或nAnmCBOAOAB2.1.1.4.一个成立另三个成立，1111,,BABABABATnnbbaaAArn111)(阶矩阵其中T为矩阵中的第一列，为第一列的倍数2.1.2矩阵逆的运算2.1.2.1.二阶矩阵逆的运算公式acbbcaddcbd1a12.1.2.2.2.1.3矩阵转置的运算TTAA)(2.1.4矩阵伴随的运算2.1.5矩阵的秩nBrArsnnmBrBArABrAr)()(,OABBA)()(r)AB())(),(min(r(AB)r(B)r(A)B)r(Ar(A)r(kA)0,kr(A)A)r(A)r(Ar(A)TT则则矩阵，是矩阵，是若可逆，则若当2.1.6分块矩阵运算11***11***)1(B)1(A)1(A00B00BOOABAOABOOBAOBOOABABABAmnmnmn分块矩阵：srT1rTs1T11Tsrs11r11AAAAAAAAT2.1.6.1.矩阵分块乘法AB(1)A=B(2)A=B列组数行组数第k列组含的列数第k行组含的行数（3）把子块看做矩阵元素，矩阵运算规则仍可用2.1.7矩阵乘法转化为方程组2.1.8r(B)}min{r(A),=r(C)，C则0,B0,A即，B、A，C=AB若因为线性无关线性无关2.1.9矩阵的高次幂niiiTTnnnbalAAlrA111T,)tr(AA00A1)A(n，，其中，阶矩阵，当为EEbAAbEAbAAAEbAAAAbbAkkkkknkk424k424k212k22212A-EA44A)3(bEA)2(AA)1(）若（）（若）（）（，若，若nnniniinnnniniinnnnBCBACnAAbEACnbEEAbAAEAABAABABABABABABAAB)(Ab)b(,b2)b(B2BBA))((B)(A1n122222222）时（当但个简单的矩阵矩阵高次幂可以拆成两nn11n11AAPPAnknPPP，存在可逆矩阵可相似对角化若2.2幂零矩阵的性质性质1：A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。性质2：A为幂零矩阵的充分必要条件为0kkZtrA性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有1,1AEEA性质6：若A为幂零矩阵，B为任意的n阶矩阵且有ABBA，则AB也为幂零矩阵性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形性质11：若A为幂零矩阵，则,,,()AAAmAmZ都为幂零矩阵，特别有2()0A2.3方阵可逆等价条件第三章3.1线性表出与线性相关12t,?··线性相关其中必有一个向量可用其余的向量线性表出3.1.11111122112121122112212s1212121[,]=+,=,,()r(Ab),,nnmnnnnmmmnnmnnnnxaxaxaxbxxxxaxaxaxbxrAAX=向量可由向量组线性表出非齐次线性方程组AX有解向量组的秩r()=r(,)212s121212s12s12s12s,,,,=()r(Ab),,=,=,,(()1nnnnrAnrA,向量可由向量组线性表出,表示法唯一线性无关，,线性相关AX有唯一解向量可由向量组线性表出,表示法不唯一AX有无穷解向量不能由向量组线性表出非齐次线性方程组AX无解向量组的秩r()r(,)r(AB))11121111112121111112112121221212221212112111212111212222211[,]=,,mnnnnmnniimmmnnmmmmnnmnnmnxxxaxaxaxbaxaxaxbxxxBxxaxaxaxbaxaxaxbxxxAX=2+BA=()r(AB)BA=()r(AB)innixBrABrA向量组可由向量组线性表出非齐次线性方程组AX有解向量组不能由向量组线性表出非齐次线性方程组AX无解3.1.1.1.推论112s12s12s12s,,=0,,0n个n维向量线性相关线性无关3.1.1.2.推论2+n1个n维向量一定线性相关3.1.2r(B)}min{r(A),=r(C)因为线性无关，C则0,B0,A即，线性无关。B、A，C=AB若3.1.3111112212121122112212120[,]=0+00,?··,?··nnnnmmmnnnnxaxaxaxxxxaxaxaxAAAX=0向量组线性无关齐次线性方程组只有零解向量组的秩r()=n向量组线性相关齐次线性方程组除零解外有非零解向量组的秩r()n3.1.412s12s12s,,,向量组线性无关，向量组，线性相关可由线性表出，且表示法唯一3.1.512s12t12s,,若向量组可由向量组，线性表出,且st,则线性相关3.1.5.1.推论1212t,?··s若，线性无关，且它可由向量组线性表出,st3.1.612s12t12s,?··,若向量组可由向量组，线性表出,且线性无关则st3.1.712s12t12s12t,r(,)r()若向量组可由向量组，线性表出则，3.1.7.1.推论12s12t12t12s12s12t,?··,?··r(,?··)r()若向量组可由向量组，线性表出,向量组，也可由向量组线性表出，则两个向量组等价，3.1.83.2秩第四章线性方程组4.1AX=O4.1.1的列向量线性无关齐次方程组有非零解AnAr)(4.1.1.1.推论解齐次线性方程组有非零)未知数个数方程个数n(m当4.1.1.2.0A有非零解nA时n=m当组阶方阵，齐次线性方程为，4.2AX=b4.2.1)()(rArA非齐线性方程组有解，4.2.2的列向量线性表出不能由无解有无穷解有唯一解Ab)(1)(r)()(r)()(rbAxArAnArAnArA4.3通解结构及解的性质1.为任意常数的通解为的基础解系，为，的一个解，为如果tttkkkkk....,....bAX0AX...bAX1t2211212.3.的解为时：当且仅当的解是时：但当且仅当的解的解，更不一定是不一定是的线性组合个解的0AX....0...AX....1...0AXbAX.........sA22121221212212,1ssssssssskkkkkkbkkkkkkkkkbX4.第五章5.1特征值特征向量5.1.1的一个特征向量属于特征值是矩阵向量的一个特征值，称非零是矩阵成立，则称，使得维列向量及非零的数阶矩阵，如果存在一个是设AA)1.5(AnnA5.1.25.2特征多项式特征方程的特征方程称为的特征多项式，称为矩阵阶方阵，则行列式为一个设A0EA)2.5(EnA212122211211AaaaaaaaaaAnnnnnn5.3特征值的解法：通过行列式变换，提出一个的公约式剩下的转化成多项式的配方解决5.4性质5.4.1的特征值不一定为实数为实矩阵，则设AA5.4.2的迹称为Atraaannn)A(2211215.4.3An215.4.4)1(0)(rninAi5.4.5不同特征值的特征向量线性无关5.4.6kk重特征值至多有个线性无关的特征向量5.5相似可对角化5.5.1-1ABnPPAPB5.3ABAAA设和都是阶矩阵，如果存在可逆矩阵使得（）则称矩阵和相似，记做B特别地，如果能与对角阵相似，则称可对角化5.5.2相似对角化的充要条件(EA)nk,iAkkrkAn的重特征值有个线性无关特征向量为重特征值有个线性无关的特征向量5.5.3相似对角化的充分条件(1A）有n个不同的特征值(2A）为实对称阵1n1nAnn如果阶方阵与对角阵相似则为的个特征值5.5.4相似对角化的本质5.5.5ABAB两个矩阵特征值相同且都可以对角化相似5.5.6判别法EEABABABABABAB必要条件：若，特征值同①、一个可对角化，一个不可以一定不相似②，皆可对角化一定相似如果都不可对角化不一定5.5.71ii1n111n1i1n21n122112112112EEABPAP1.E3.()P4E5()6PABPBAPAPAPBPPPAPPBPPP若，特征值同，求求2.（）X=0（）X=05.6相似性质5.6.1AA1EAEA证：5.6.2ABBA5.6.3A,BBCAC111211211211212112AP()PPBAPBBCPBPCPPAPPCPPAPPCPPAPC证：令5.6.4(A)rABr（B）11CB=AC(B)rACC=BC(A)=r(BC)r(B)(A)r(B)rArr证：若可逆，（）r(A)可逆一个矩阵左右乘可逆阵秩不变1=Br(A)r(B)BPAP证：一个矩阵左右乘可逆阵秩不变A5.6.5.EEAB=ABABAB特征多项式相同，特征值相同5.6.6(A)(B)r(fA)=(f(B))ABffr（）5.6.7(A)tr(B)iiiiABabtr5.6.8TTABAB5.6.911,AABAB，B可逆5.6.10**B,BAAA，B可逆5.6.11n1B,nnnAAPBP5.6.12,,AABB皆可对角化且特征值相同5.7实对称阵TAA5.7.1，则特征值为实数性质：ATA2T2T为复