数值传热学第五章-数值计算.

2019-12-30太原理工大学1/70Thermal第五章对流与扩散主要内容：•§5.1任务•§5.2一维稳态对流与扩散•§5.3二维问题的离散化方程•§5.4三维问题的离散化方程•§5.5单向空间坐标•§5.6假扩散2019-12-30太原理工大学2/70Thermal§5.1任务1、上章内容总结在通用微分方程中忽略了对流项，给出了非稳态项、扩散项及源项的离散化方法，阐述了求解代数方程组的方法。只要对流项的加入不改变离散化方程的形式，方程组的求解方法仍然适用。2、本章任务在已知流场（V分量及ρ）的情况下，求解分布。对流项与扩散项之间有不可分割的关系，因此需要把这两项处理成一个单位，其它项可以作为陪衬.2019-12-30太原理工大学3/70Thermal3、通用方程的改写形式①获得流场的方法：可以得知于实验；也可以由一个解析解给定；或通过流动的数值计算获得；或干脆由猜测估计得知。②“扩散”的广义解释：不仅限于表示由浓度梯度引起的一种化学组分的扩散，由的梯度引起的扩散流是，即方程中的二阶导数项为扩散项。xxx()jjjjuSxxxjjjjjjxuxuux)(2019-12-30太原理工大学4/70Thermaljjjjjjxuxuux)(两式相加得jjjjjjjj(u)uuxxxux原通用方程可改写为Sxxxujjjj)(对于已知的ρ、uj、Γ及S（常量）的分布，任何解及+c将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。2019-12-30太原理工大学5/70Thermal§5.2一维稳态对流与扩散讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控制方程为：ddd()ddduxxx连续方程：d0duxconstu任务：导出相应方程的离散化形式()jjjjuSxxx2019-12-30太原理工大学6/70Thermal§5.2-1预备性的推导（中心差分格式）选三点网格群见右图。控制容积界面e、w的实际位置不会影响最终的公式。在此1、离散化方程的导出设定其位于节点中间，这样还是比较方便的。在控制容积内对微分方程积分ddddewewuuxx对流项及扩散项中的均采用分段线性的函数表示WwPeExx(x)w(x)ePdddddduxxx2019-12-30太原理工大学7/70ThermalPEe21PW21w(e、w位于节点中间)对于不同的界面位置，则需要采用其它的内插因子。式wWPwePEePWwPEexxuu2121Γe、Γw可以用算术平均法或调和平均法求得。、可负，由流动方向定对流或流动强度，可正uF.扩散传导性xD整理后的离散化方程WWEEPpaaa其中：2eeEFDa2定义：可写成ddddewewuuxx2019-12-30太原理工大学8/70Thermal由于连续性，Fe=Fw，（只是在流场满足连续性条件时才具有这一性质）；方程隐含着分段线性分布的含义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示界面上的值以及界面上的导数值）；方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的结果。weEWeewwPFFaaFDFDa222、对方程的几点说明EWPaaaWWEEPPaaa2019-12-30太原理工大学9/70Thermal例如：41weweFFDD，设若E、W给定，即可由离散方程求得P。50100,200PWE若250200,100PWE若两个值均不符合实际违背了正系数规则1212eeEFDa3212nbWEPaaaa而主对角占优）违反了斯卡巴勒准则（这样，,nbPaa产生不切实际的结果为负或时，有可能使即，WEaaDF22019-12-30太原理工大学10/70Thermal0Pa扩散项为零（Γ=0），中心差分格式导致于是方程不适用于逐点迭代法求解了，也不适用于采用其它的迭代解法了。nbnbPPTaTa这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低Re(低的F/D)的原因.2eeEFDa2weEWeewwPFFaaFDFDa22PnbnbPaTaTweEWeewwPFFaaFDFDa222019-12-30太原理工大学11/70Thermal为解决中心差分在之后产生解失去物理上真实性的问题，提出了上风方案。以后介绍的格式，除特殊说明，扩散项均采用中心差分格式离散。因此离散格式的不同是指对流项离散方法的不同。上风方案充分考虑了流动方向对导数差分计算式及界面上函数取值方法的影响。§5.2-2上风方案DF22019-12-30太原理工大学12/70Thermal1、上（迎）风格式两种离散方式的定义①.泰勒级数展开法定义（第一类迎风格式）WPEi-1i+1i0iu0iu(a)WwPeEi+1ii-10iu0iu一阶上（迎）风的构造方式以流动方向而言，P点的一阶导数是该方向的向后差分，即永远是从上游获得构造一阶导数的信息，公式表示：1d0diiiiwuxx1d0diiiieuxx(b)2019-12-30太原理工大学13/70Thermal②控制容积积分法定义（第二类迎风格式）控制容积界面上值的规定：界面上的值等于界面上风侧网格节点上的值。WwPeEi+1ii-10iu0iu00eEeePeFF类似地，w界面上00wP上述条件语句紧凑格式的写法：0,0,,eEePeeFFFBABA中的大者，则：、代表定义0,0,wP2019-12-30太原理工大学14/70Thermal2、离散化方程WWEEPpaaaddddewewuuxxPweWwEeWPwPEewweeDDDDDDFF采用一阶上风方案00，，eEePeeFFF00，，wP代入上式整理得0000，，，，dddddduxxx2019-12-30太原理工大学15/70Thermal0，eeEFDa0，式中：00000000Peewweeee，，，，，，，，WWEEPpaaaweWEPFFaaa即：2019-12-30太原理工大学16/70Thermal①此类格式的离散化方程不会产生负系数（因格式须满足连续方程Fe=Fw，故aP0）,解总是在物理上真实的解，同时斯卡巴勒准则也将得到满足；②在对流项中心差分的数值解不会出现振荡的参数范围内，在相同的网格节点数下，采用中心差分的计算结果比采用上风方案的结果更精确；③为构造更为优良的离散格式，应当在迎风方向获取比背风方向更多的信息，以较好地反映对流过程的物理本质；④一阶上风格式由于其绝对稳定的特性，使其在过去半个世纪中得到广泛的应用，至今仍有其应用价值3、几点说明2019-12-30太原理工大学17/70Thermal§5.2-3精确解1、方程的精确解控制方程连续方程d0duxconstu令：const上述方程22dddduxx由边界条件确定、2121cceccxuLLxx000201exp()1exp()exp()1LLcPePecPeuLPe式中：dddddduxxx2019-12-30太原理工大学18/70ThermalLxPePePePeLLexp1)exp(1)exp()exp(00方程的解为整理得:1)exp(1exp00PeLxPeL比对流强度与扩散强度之DFLuuLPe2019-12-30太原理工大学19/70Thermal2、精确解随x及Pe变化关系讨论Pe10LxL-Pe1Pe=0Pe=11Pe0不同Pe下随x变化的关系曲线当Pe=0时，与x呈线性关系，成为常物性的纯扩散问题。00exp10exp10expexpLPexL(Pe)PexLxLx(Pe)L线性关系LxL002019-12-30太原理工大学20/70Thermal当Pe↑到中等数值（小于5），整个求解区域内曲线的变化仍是平稳的；当Pe继续增大（如大于10），精确解越来越呈现出边界层类型的特性。在x=0到x=L的大部分范围内，上游的0占了优势，仅在靠近x=L的薄层内上升到L。这时，对流的作用就把上游的信息一直带到下游。Pe0时，流动方向正好与x轴正向相反。L成为上游值，它支配着域内的值，当Pe为相当大的负值时，在该区域的大部分范围内接近于L。2019-12-30太原理工大学21/70Thermal3、迎风格式的缺点(对照精确解)对于任意大小的Pe值，它的计算误差都较大，因为：当Pe较小时，扩散项采用中心差分格式有较高的精度；但此时处理对流项用上游节点的值来代替界面值e、w则误差较大。当Pe较大时，将界面值e、w取为它们的上游节点值具有较高精度，但这种情况下还用中心差分离散扩散项将会带来较大的误差。因为如图所示，节点间的大部分区域上界面导数已基本等于零，即扩散项为零。2019-12-30太原理工大学22/70Thermal§5.2-4指数方案以精确解为基础推得离散化方程，将不会有上述方案所存在的缺陷。根据精确解构造的格式称为指数格式1、方程格式的导出设总流量密度ddJux则原微分方程化为dddd()0ddddJuxxxx在三节点群W、P、E控制容积内积分上述方程得：0weJJWwPeEi+1ii-12019-12-30太原理工大学23/70Thermal00000dexp1dexp()1expexp()1exp()1LLLxJuFPexPeLPexPeFLPeLPe将精确解代入总通量密度式中：对于节点W和P之间的控制界面w，用W、P分别代替0、L，并用(x)w代替L，可得：exp()1WP同理exp()1PEeePeJFPe将两式代入0weJJ与x无关ΓuLPe2019-12-30太原理工大学24/70ThermalWWEEPpaaa离散化方程式为式中