数值分析(颜庆津)第三章学习小结

1第三章矩阵特征值与特征向量的计算--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我们学到了四种矩阵特征值和特征向量的计算方法，分别是幂法、反幂法、Jacobi方法和QR方法。四种方法各有其特点和适用范围。幂法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。归结起来，这四种方法亦有其共同点，那就是都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。此外，用MATLAB自带的解法求解特征值和特征向量也非常快速，而且不用编辑函数建立m文件。其自带函数Eig功能强大，即便得到结果是虚数也可以算出，并且结果自动正交化。二、本章知识梳理本章对于矩阵的特征值和特征向量的算法提出了新的思路，如幂法和反幂法、Jacobi、QR方法等。本章的小结主要从方法的思想，以及一些定理展开。2.1各种方法的运用范围1、幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值和其相应的特征向量；2、反幂法：主要计算矩阵按模最小的特征值以及其相应的特征向量；3、Jacobi方法:用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；4、QR方法：适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。2.2各种方法的基本思想以及迭代公式1.幂法幂法的基本思想：设n×n实矩阵A具有n个线性无关的特征向量nxxx,....,,21，其相应的特征值2,,...,21n满足不等式n....321，其中iixiAx)...,3,2,1(ni。任取一n维非零向量u0，从u0出发，按照如下的递推公式...)2,1(1kAuukk因n维向量组nxxx,....,,21线性无关，故对向量u0必存在唯一的不全为0的数组a1,a2,…,an,使得nnxaxaxau...22110])(...)([...........1212211122211122110221nnnknknnkknknkkkkkkxaxaxaxaxaxaxAaxAaxAauAuAAuu设a1≠0,由上式可以看出，当k充分大时有111xaukk得迭代公式：9uAukk（1）从实际中来看，为了避免迭代向量uk的模过大，（当11）或过小（当11），通常对ukj进行归一化，使其范数等于1。幂法的迭代公式：（1）用2范数来归一，并且令kkTkuy1任取非零向量nRu0)1()1(1kkTkuu111kkkuy1kkAyukkTkuy1（k=1,2,..）(2)用范数来归一,并且令：1kTrkTrkyeue3任取非零向量Tnhhhu),...,,()0()0(2)0(19)1(1)1(maxkjnjkrhh)1(11krkkhuyTknkkkhhAyu),...()()(11（k=1,2,…）上述两种迭代终止控制用kkk1，以当前的k和1ky分别作为1和相应的特征向量。两种方法的比较：（1）迭代格式编制程序容易，但迭代一次时间较长，（2）迭代格式每迭代一次都要判断上一个哪一个分量的模最大，因而时间长，但在运算的摄入误差中影响比（1）迭代格式影响小。2.反幂法反幂法的基本思想：反幂法的基本思想与幂法基本相同，一个是利用模最大的特征值，一个是利用模最小的特征值。设n×n实矩阵A具有n个线性无关的特征向量nxxx,....,,21，其相应的特征值,,...,21n满足不等式n....321，其中iixiAx)...,3,2,1(ni。得：),...,2,1(11nixxAiii此时，n1是矩阵1A的按模最大的特征值，我们就将问题转化为了幂法的思想。)(1)sgn(krkrkhh4反幂法的迭代公式任取非零向量nRu0)1()1(1kkTkuu111kkkuy1kkAyukkTkuy1（k=1,2,..）2.3Jacobi方法1.Jacobi方法的基本思想：任一实对称矩阵正交相似于对角阵。Jacobi用适当选取的平面旋转变换将给定的实对称矩阵逐步化为对角阵。2.求实对称矩阵A的特征值与相应的特征向量是一个迭代过程，其迭代步骤为：（1）在A的非对角线元素中，找出按模最大的元素pqa；（2）由pqqqpqaaa22cot计算2cot，比由此计算出cos,sin以及相应的平面旋转矩阵；（3）计算出矩阵A1的元素)1(ija；（4）若)1(maxijjia，则停止运算，所求特征值为),...,2,1()1(niaiii，则令A=A1，重复执行上述过程。3.Jacobi方法的一些说明设nniia][A是实对称矩阵，由Jacobi方法的第k次迭代得到的矩阵记为nnkiia][A)(k，又记为njijikiika1,2)()(则有0limkk成立。优点：前面论述的Jacobi方法，每次迭代都是按模最大的对角线元素作为消元对象，不论实对称矩阵A的特征值如何分布，这种方法总是收敛的，当A得阶数不是很高时。收敛速度5还比较快，而且这种方法有数值稳定性，计算精度一般比较高，特别是求的的特征向量正交性比较好。缺点：不能有效的利用矩阵的各种特殊形状，浪费时间。2.4QR方法：1.QR方法的基本思想：任何n×n的实矩阵总可以分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。QR方法最重要的一步是对A进行正交分解使得A＝QR，其中Q为一特殊正交矩阵。理论上，QR方法可以应用于任何矩阵，但对以下几类矩阵效率很高：1）对称三对角矩阵；2）Hessenberg矩阵；3）对称带状矩阵。（实Schur分解定理）：设A是一个n阶实方阵，那么存在一个正交矩阵Q使得A相似于ss2s221s1211T00TT0TTT其中对角块为一阶或二阶方阵，每一个一阶对角块对应于A的一个实特征值，每一个二阶对角块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。2.QR方法的一般形式：,...)2,1(11kQRARQAAAkkkkkk对任意实方阵A，由QR方法产生的矩阵序列{Ak}本质上收敛于分块上三角矩阵（对角块以上的元素可能不收敛），其中对角块为一阶或二阶方阵，每一个一阶对角块对应于A的一个实特征值，每一个二阶对角块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。3.Householder变换（矩阵）设υ为n维单位向量，即υTυ=1；H=1-2υυT（1）Householder矩阵是正交矩阵；（2）对任意的nRx，记Hxy，有22xy；6（3）记S为与w垂直的平面,则几何上x与y=Hx关于平面S对称。事实上,由xwwHxyT)21(得知：wxwyxT)(2设有非零向量s和单位向量e，则必存在Householder矩阵H使得Hs＝±αe，其中α是实数且ssT设A是一个n阶实方阵，那么A可分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，A＝QR。三、本章思考题幂法计算矩阵特征值和特征向量的基本思想是设n×n实矩阵A具有n个线性无关的特征向量nxxx,....,,21，其相应的特征值为,,...,21n，任取一n维非零向量u0，从u0出发，按照递推公式...)2,1(1kAuukk。因n维向量组nxxx,....,,21线性无关，故对向量u0必存在唯一的不全为0的数组a1,a2,…,an,使得nnxaxaxau...22110])(...)([...........1212211122211122110221nnnknknnkknknkkkkkkxaxaxaxaxaxaxAaxAaxAauAuAAuu设a1≠0,由上式可以看出，当k充分大时有111xaukk，得迭代公式：9uAukk。从实际中来看，为了避免迭代向量uk的模过大，（当11）或过小（当11），通常对ukj进行归一化，使其范数等于1。一般来说，我们都使用2或者范数来归一，如果我们用1范数来归一会出现什么效果呢？思路：以一定的方式，构造一个初值和一个迭代公式，将初值带入迭代公式，持续一定次数后，两次迭代的结果的误差达到一定值时，迭代终止。得出相应的特征值和特征向量。7四、本章测验题Jacobi方法是用于求（）的全部特征值和特征向量的一种方法。A.正交矩阵B.实对称矩阵C.上三角矩阵D.下三角矩阵答案：B.实对称矩阵