数值分析复习题

武汉大学工程硕士研究生数值分析课程复习题一、名词解释：模型误差绝对误差限相对误差限有效数字算法的数值稳定性矩阵的条件数求解线性方程组的直接解法迭代函数迭代法的局部收敛最小二乘拟合插值型求积公式代数精度求积公式的p阶收敛差商事后估计数值解的局部截断误差二、简述题：1、简述数值计算中的误差种类与来源。2、简述数值计算中应如何防止误差的传播。3、简述《数值分析》研究的对象与特点三、填空题：1、计算方法以为研究对象，其最基本的立足点是。2、数113355和3.1415927分别作为的近似值有，位有效数字；3、数a的精确值为71.645。它的两个近似值分别分70和71.65，则这三个近似值的有效位数别分为和。4、若0.645x，它的近似值nx为0.65，则nx的有效数字个数为。5、x的相对误差限是x的相对误差限的，2x的相对误差限是x的相误差限的。6、对于n阶方阵，()ijnnAa1A，2A，A。7、设A、B是任意三个n阶方阵，则AB，AB8、已知1111A,则1||||A=,Cond)(A=；9、设12x，2513A，求Ax=，)(ACond=10、为计算积分)100,,2,1(101ndxexIxnn,设计了两种算法：A：)100,,1(6321.0101nInIInn；B：)1,,100(011001nInIInn数值稳定性较好的是算法。11、求方程xex2、xxcos、2sinxx的根的牛顿迭代格式分别为：、、；12、对给定的1n个插值节点01,,,()nxxxfx的Lagrange插值多项式和Hermite插值多项式的次数分别为、次。13、对于给定的1n个点01,,,,()nxxxfx的牛顿插值多项式的余项为。14若()(1)(2)fxxx,则差商[1,2]f,[1,2,3]f.15、设132)(38xxxf，则差商]1,0[f，]8,,1,0[f16、梯形公式有次代数精度，辛普生公式有次代数精度。17、复化梯形公式的截断误差为nIT，复化辛普生公式的截断误差为nIS。18、在常微分方程初值问题中，定义()nnyxy为近似值ny的。19、对于方程00(,)()yfxyyxy，改进的尤拉法为：。20、若0,则yy的Euler公式是稳定的，梯形公式是稳定的。四、基本计算题1、若取1415926.3来表示的近似值，试估计其相对误差。2、若取27182838来表示e的近似值，试估计其相对误差。3、设5021A，求谱半径)(A及条件数)(ACond4、设114320211A，已知25837121351A，A的三个特征值分别为：i5.003.0,06.4,求范数A、谱半径)(A及条件数)(ACond5、用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程bAx，其中1）976034112A，34156b；2）61563142112A，3103b；3）5421214512A，122711b；4）216528112A，234110b6、设四阶方阵3010342110100201A,1）用紧凑格式求单位下三角阵L和上三角阵U,使ALU；2）用以上LU分解求方程组ALU，其中5,3,17,7Tb；3）计算1A、A7、设四阶方阵A=21361562223421021）用紧凑格式求单位下三角阵L和上三角阵U,使ALU；2）用以上LU分解求方程组ALU，其中5,1,4,10Tb3）计算1A、A8、试用迭代法分别求出方程0)2ln(xx在区间[—1.9,—1]和[0,2]上的根。9、已知xxfy)(的一组值：xi014yi012求二次拉格朗日插值多项式及余项，并求)2(f的近似值。10、已知)(xfy的一组值：xi123yi1-12求二次拉格朗日插值多项式及余项，并求)5.2(f的近似值。11、已知2)(xexfy的一组值：xi012yi10.60.37求二次拉格朗日插值多项式及余项。12、已知xexfy)(的一组值：xi-101yi2.71831.00000.3679求二次拉格朗日插值多项式及余项。13、求次数不高于3的多项式P3（X），使满足下列插值条件：P3（1）=2P3（2）=4P3（3）=123P（2）=314、已知数据xi1234yi2101求形如6sin2xbaxy的拟合曲线。15、已知数据xi-2-1012yi01210求形如cbxaxy2的拟合曲线。16、已知变量yx,的一组数据对点如下x1.001.251.501.752.00y5.105.796.537.458.46试求关于以上数据的形如bxaey的拟合曲线，并估计1.35x处的函数值。17、已知xyln1的一组值xi2.02.22.42.62.83.03.2f(xi)1.441.271.141.050.970.910.86分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算2.30.2ln1dxx18、给定)(xfy的一组值xi1.01.21.41.61.82.02.22.42.6f(xi)120-1-3-1132分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算6.20.1)(dxxf19、已知)(xfy的一组值xi01.21.41.61.82.02.2f(xi)2542124分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算2.20)(dxxf20已知xxfy1sin)(的一组值xi1.01.21.41.61.82.02.2f(xi)0.850.740.660.590.530.480.44分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算2.20.11sindxx21、用龙贝格积分法求积分dxx10214＋的近似值，其中T1=3.00000T2=3.1000000T4=3.13117647T8=3.1389884922、用龙贝格积分法求dxxxI10sin的近似值，其中9207355.01T9397933.02T9445135.04T9456909.08T23、确定常数iA，使求积公式)2()1()0()(32120fAfAfAdxxf的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。24、试用改进的欧拉格式（也称预估-校正法）求解下列微分方程初值问题：1）1.0;1)0(]1,0[,hyxyxdxdy2）,[0,1](0)1;0.1dyxyxdxyh3）2,[0,1](0)1;0.1dyxyxdxyh4）2,[0,1](0)1;0.1dyxxdxyyh5）,[0,1](0)1;0.1dyxyxdxyh6）1.0,1)0(10,2hyxyxdxdy7）1.0;1)0(]1,0[;hyxyxdxdy8）1.0;1)0(]1,0[,hyxydxdy（取5位有效数字计算）25、用欧拉预估—校正方法求初值问题1)0(0,2yxyxdxdy的解函数)(xy在2.0x的近似值（取步长1.0h，小数点后至少保留四位）.五、综合计算题：1、设常数0a，分别写出求解方程组212111bbxxaa的Jacobi迭代格式及Gauss-Seidel迭代格式并给出用Gauss-Seidel迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件。2、为求方程3210xx在01.5x附近的一个根，设将方程改写为一列等价开形式，并建立相应的迭代公式：1）211xx，迭代公式1211kkxx2）321xx，迭代公式2311kkxx3）211xx，迭代公式11/21(1)kkxx以分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似根。3、已知一个三次方程为310xx，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造两种不同的收敛迭代格式，再用其中一种收敛迭代格式计算该方程在1.5附近的一个根(410)。4、方程)0(0272)(323aaaxxxf在]32,0[a及],32[aa内各有一个根，1）建立求根的牛顿迭代格式；2）如何选取初值0x，使牛顿迭代序列kx收敛到],32[aa内的根。5、已知数据i012xi013yi123设bxaxxf6sin)(，求常数a,b,使得202min])([iiiyxf6、已知数据i0123xi0123yi3247设2)1()(xbaxxf，求常数a,b,使得302min])([iiiyxf7、确定求积公式)31()31()(11ffdxxf的代数精度，并问是否是Gauss型公式。8、确定常数a,b,c，使迭代式521)(kkkkkxcxbaxxx局部收敛到1*x，并有尽可能高的收敛阶数，并指出这个阶数。六、证明与讨论题1、设方程组111122111221321xxx1）分别写出Jacobi迭代格式及Gauss-Seidel迭代格式；2）证明Jacobi迭代格式是收敛的。2、分别写出求解下列方程组的Jacobi迭代格式和松弛迭代格式，并讨论Jacobi迭代格式的收敛性:.122,5,322321321321xxxxxxxxx3、设方程组212122211211bbxxaaaa，其中02211aa，分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。4、已知方程02xex有一个正根及一个负根，1）估计出含根的区间；2）分别讨论用迭代格式21nxnex求这两个根时的收敛性；3）如果上述迭代不收敛，请写出一个你认为收敛的迭代格式。5、设方程xex.1)估计含根区间;2)分析迭代格式,5.00xnxnex1,,2,1,0n.的收敛性;3)写出解此方程的牛顿迭代格式,并问0x取何值时,迭代收敛.6、设bxxxan10，求积公式niiibaxfAdxxf0)()(为插值型求积公式,(1)推导出系数iA的公式;(2)证明公式niiibaxfAdxxf0)()(的代数精度n;(3)证明公式niiibaxfAdxxf0)()(的代数精度不可能大于12n.7、设求积公式nkkkbaxfAdxxf1)()(为高斯型求积公式，)())(()(21nnxxxxxxx1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？2）证明:对任意次数小于等于1n的多项式)(xq，必有bandxxxq0)()(；3）证明：nkAk,,2,1,08、证明迭代格式3),,2,1,0(,201xkxxkk收敛，并求出kkxlim9、证明求积公式nkkkbaxfdxxf0)()(的代数精度大于等于n的充分必要条件是),2,1,0(,)(kdxxlbakk。其中bxxxan10，)(xlk是以nxx,0为插值节点的Lagrange插值基多项式。10、试确定数值解公式11211iiiibhfyayay中的系数baa,,21，使