数值分析第五章学习小结

第五章插值与逼近--------学习小节一．本章学习体会本章学习了插值与逼近，经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。可以说我们现在学习推导出来的方法公式等都是前人的辛苦钻研的结果，本章除了学到了许多的插值与逼近方法，更重要的是了解了许多科学前辈的故事以及他们许多做研究的态度与方法。我感觉了解一下数学家的人生故事对我们学习数值分析或别的数学知识有很大的帮助。上课时王老师给我们讲了数学奇才Hermite的传奇故事，一个不会考试，基本上每次考数学都不及格的‘笨学生’，后来成为了伟大的数学家。不是每个数学家都特别聪明，他们所具有的是作为一名科学家的品质，想别人没有想过的问题，在研究中创新，我们应该学习他们那种做研究的态度与精神。学习这章时有一个小小的困惑，在曲线拟合的求法时，求多元函数的极小值*220000[()()]min[()()]imnmnjjiijjiicijijcxfxcxfx20100(,,,)[()()]mnnjjiiijFccccxfx老师讲时说用0kFc求得，那万一求出的是极大值呢？二．本章知识梳理数值分析中的插值是一种有力的工具，它最终得出的曲线图像都是过节点的，我们的目的使用它得出的图像来近似估计插值点的函数值。我们首先学了代数插值中的一元函数插值，一元函数插值中学了拉格朗日插值但其插值公式没有延续性，后来学了牛顿插值，其优点是插值公式具有延续性，但前两者都有缺点，就是插值节点一般不超过三个，否则会有很大误差。但实际工程中我们会测的许多的数据，也就有许多的节点，这样前两种差值方法就不能用了，后来我们又引进了分段线性插值，就是将这许多的节点进行分段，在每段中应用拉格朗日插值或牛顿差值。其中每段可以有二到三个节点，但分段线性插值的缺点是，曲线在节点处不是光滑的，这在实际工程中是不允许的。为了避免这个缺点，我们想让得到的函数曲线在每个节点处光滑，我们又引进了Hermit差值，也就是带导数的代数差值问题，如果节点特别多时，我们将Hermit插值与分段线性插值结合到一块就构成了分段Hermit差值。但实际工程中我们不可能将每个节点导数值求出来，这样是不实际的。所以我们又引进了一个经典的插值方式即样条差值。样条差值结合了前面几种插值方式的优点，我们可以测量许多节点，不用测得每个节点的导数，我们可以得到光滑的插值图像，基于其优点，样条差值在实际工程中得到了广泛的应用。后来我们又引进了正交多项式，几个重要常用的正交多项式有勒让德正交多项式，切比雪夫正交多项式，拉盖尔正交多项式和埃尔米特正交多项式。本章中引进的正交多项式是为后面的函数逼近服务的。接下来我们就引进了函数的最佳平方逼近。所谓逼近就是找一个函数使其与原函数的某种距离达到最小。函数逼近中要逼近的函数是已知的。我们以前学的泰勒级数展开是将一个函数在某一点展开成许多函数相加的形所谓函数式，函数逼近可以理解为自变量在某一区域内将某一函数展开成许多函数相加的形式。后来我们又学习了曲线拟合。实际工程中我们会得到许多离散的测量值，我们想找一个函数，使其在某种准则下与所测得的离散点最接近即曲线拟合好。常用的准则是误差平方和准则。曲线拟合在实际工程中应用特别广泛。插值中所得到的曲线图像必须过插值节点，而曲线拟合与之不同的是，它的你和函数可以不过测量点，只要与测量点接近就可以了。曲线拟合中对要拟合的测量点的数目是没有要求的，而且拟合出来的曲线也是光滑的。5.1代数插值代数插值就是插值函数为多项式的插值问题。本章介绍代数插值有二个方法：Lagrange（拉格朗日）插值多项式、Newton（牛顿）插值多项式。5.2Hermite插值1、Hermite插值多项式的构造)()()()(11xwxqxpxHnmnnm2、Hermite插值多项式的余项mkinnmnmnkxxxwnmfxHxfxR01)2(1)()()!2()()()()(5.3样条插值1、K次样条函数对于区间[a,b]上的一个分划bxxxxann110...:如果函数)(xs满足条件（1）)(xs在每个子区间)1,...2,1,0](,[1nixxii上是次数不高于K的多项式。（2）)(xs在区间（a,b）上具有K-1阶连续导数，称)(xs是定义在[a,b]上对应于分划的K次多项式样函数。nxxx,...,,10称为样条节点，其中1-1,...,,nxx称为内节点，nxx,0称为边界节点。相应于分划的k次样条函数的全体为,Dk2、样条函数空间,Dk的基对于区间[a,b]上的一个分划bxxxxann110...:,Dk的一组基：1,...,2,1,)(,,...,2,1,0,njxxkjxkjj})(,...,)(,...,,,1{D112,knkkkxxxxxxxspan3、K次样条函数的表示bxaxxckxaxsknjjjjkjj,)(!1)(1104、三次样条插值问题对于区间[a,b]上的一个分划bxxxxann110...:函数)(xf在每个节点处的值为)...,2,1,0)((nixfyii如果三次样条函数,3Ds(x)，满足条件niyxsii,..,2,1,0,)(则称s(x)为函数)(xf的三次样条插值函数。三次样条插值函数：bxaxxcxaxsjnjjiii,)(!31)(31130三种边界条件：（1）nyxsyxs'')('','')(''00（2）nyxsyxs')(',')('00（3）周期性条件)('')(''),(')(),()(000nnnxsxsxsxsxsxs5.5正交多项式5.5.1正交多项式概念与性质1.内积的性质).(),(fggf；),(),(),(gfkkgfgkf，k为常数；),(),(),(2121gfgfgff；若在ba,上0)(xf，则0),(ff。2.正交多项式的性质1）数乘性2）唯一性3）根的性质4）递推性5.5.2几种常用的正交多项式Legendre多项式Legendre多项式重要性质：1)、Legendre多项式系)(xLn是区间1,1上的正交多项式系。2）、)(xLn的最高次项系数为2)!(2)!2(nnann3）、n为奇数时，)(xLn为奇数，n为偶数时)(xLn为偶函数。4）、满足递推关系：当1n时，有)(1)(112)(11xLnnxxLnnxLnnnChebyshev多项式Chebyshev多项式重要性质：)(xTn是x的n次多项式，并且当1n时，)(xTn的最高次项系数为12nna2）Chebyshev多项式系)(xTn是区间1,1上带权211x的正交多项式。3）)(xTn满足递推关系),2,1)(()(2)()(1)(1110nxTxxTxTxxTxTnnn4）当1n时，)(xTn在开区间1.1内有n个互异实零点，它们是ninxi21)(2cosni,,2,15）当n为奇数时，)(xTn为奇数，n为偶数时)(xTn为偶函数。Hermite多项式Hermite多项式重要性质：)(xHn是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为nna2。Hermite多项式系)(xHn是在区间,上带权2xe的正交多项式系。事实上有nmnnmdxxHxHennmx,!2,0)()(25.6函数的最佳平方逼近5.6.1最佳平方逼近的概念与解法最佳平方逼近的充分必要条件设baCxf,)(，nHxp)(是子空间nH中对于xf的最佳平方逼近元素的充分必要条件是0),(jpf，nj,,1,0或对任一个nHxp，总有0),(ppf最佳平方逼近元素是唯一的设baCxf,)(。则在子空间nH中对于xf的最佳平方逼近元素是唯一的。最佳平方逼近元素的求法xcxknkk0求系数kc最佳平方逼近误差),(ff均方误差：),(),(0fcffknkk5.6.2、正交函数系在最佳平方逼近的应用设xxxxn,,,,210为ba,上带权x正交函数系，则kkkkfc,,，nk,,2,1,01、Legendre多项式的应用对于给定的函数1,1)(Cxf，要求)(xf在1,1上的n次最佳平方逼近多项式)(xpn，前已指出，这个问题相当于在内积为badxxgxfgf,的情形下，在子空间nnxxxspanxH,,,,1)(2中寻求对xf的最佳平方逼近元素)(xpn。今对该nH另取一组基底，即nnLLLspanxH,,,)(10其中xLj是j次Legendre多项式。此时，法方程),(,0jjknkkfc的解可直接得到，即dxxfxLkLLLfckkkkk)(0(212,,11),,1,0(nk所求的n次最佳平方逼近多项式为)()(0xLcxpnkkkn，11x如果所给的区间不是1,1，而是一般的有限区间ba,，那么，可以通过变量置换22abbax将它转化为区间的11t的情形来处理。2）设1,1)(Cxf，则由式)()(0xLcxpnkkkn（11x）和系数公式dxxfxLkLLLfckkkkk)()(212,,11),,1,0(nk所确定的多项式)(xpn。当n时均方收敛于)(xf，即0),(limnnnpfpf若1,1)(Cxf，则当n时多项式)(xpn在区间1,1上一致收敛于)(xf，即0)()(maxlim11xpxfnxn当n时由系数公式dxxfxLkLLLfckkkkk)()(212,,所确定的式)()(0xLcxpnkkkn就成为一个无穷级数：)(0xLcnkkk，11x2、Chebyshev多项式的应用1）内积dxxxgxfgf1121)()(,并取1,1C的一个子空间nnTTTSpanH,,,10其中)(xTj是j次Chebyshev多项式。nH中任一元素为)(2)(120xTaaxpjnjj，11x设1,1)(Cxf。由于nTTT,,,10是在区间1,1上带权211x的正交函数组，并且0,20,),(jjTTjj所以，由式),(),(kkkkfc，),,1,0(nk可知，当),,2,1.,0(1)()(2),(),(1)(2),(),(21121120000njdxxxTxfTTTfadxxxfTTTfajjjjj时，式)(2)(120xTaaxpjnjj所表示的)(xpn就是空间nH中对于)(xf的最佳平方逼近元素，也就是)(xf在区间1,1上带权211)(xx的n次最佳平方逼近多项式。2）设)(xf在区间1,1上存在且有界，那么由式)(2)(120xTaaxpjnjj和系数公式),,2,1.,0(1)()(2),(),(1)(2),(),(21121120000njdxxxTxfTTTfadxxxfTTTfajjjjj所确定的多项式)(xpn，当n时，在1,1上一致收敛于函数)(xf。3、三角函数系的应用当被逼近函数)(xf是以2为周期的函数时，宜用三角多项式做逼近函数。定