数值解法习题第一题

1：对均匀绝热杆中的温度变化问题0),,1(),0(10,1)0,(10,22ttutuxxuxxutu用分量变量法验证解析解为0)12()12sin()12(14),(22ntnxnentxu并取1.0,1.0rx，分别用显示格式和隐式格式求解，比较数值解的精度。首先分量变量法验证解析解，令),1(),0(tutu，设解的形式为,uxtXxTt代入方程有'''XTXT两边同除XT设分离常数为'''TXTX有''0XX，'0TT在分离边界条件有0,0utXTt=，1,1utXTt=解固有值问题.0)()1()()0(,1)0()(,0)()()()('''tTXtTXTxXxXtTtTxX'''()(0)1(0)(1)0()()()()XxTXXXxTtXxTt当0时，没有非平凡解设2sinXxCcosxDx由0)1()0(XX得nnnCn,,2,1,,0sinnXxDnx.再解'0TT,得2ntnTtCe,2,sinntnnuxtaenx,nnnCDa为任意常数由叠加原理21,sinntnnuxtaenx,1,01sinnnuxanx,1042sinnanxdxn,214,sinntnuxtenxn,n为任意正整数取n为奇数得2221141,sin2121ntnuxtenxn,从而可知该解析解为0)12()12sin()12(14),(22ntnxnentxu.下面分别用显式格式和隐式格式求解.一、显式格式第一步，建立显式格式nMnjnjnjnjnjnjuuunMjxuuutuu002111,1,2,1,1,,2,1,)(2)1(则有njnjnjnjnjnjnjnjruurruuuuruu11111)21()2(，)2(其中2)(xtr.第二步，唯一性取),,,(10nMnnnuuuu.由于,1nnQuu其中rrrrrrrrrrQ21212121为三对角矩阵，所以该差分格式解唯一。第三步，截断误差，误差分析nnnnjnjtutntuttutuu)(!1)(!212221，)3(nnnnjnjnjtutntuttutuuu)(!1)(!41)(!21244422211)4(由（3）-（4）得，截断误差).)(()())(2()(2211122tOtOxuuutuuxutuEnjnjnjnjnjnj所以，该差分显式格式精度为))((2xtO，时间一阶，空间二阶的.第四步，相容性，稳定性分析相容性:当0,0xt时，0njE,故差分格式相容。稳定性:根据Fourier变换得，即每个分量考虑为ijhnnjeuu)(，其中],[,j表示任一波数分量。将分量代入（2）式中，得到nnhihinnjMjijhnjMjijhnjMjijhnjnjnjMjhijnjMjhijnuhrrueeruruerueruerruurrueueu))cos(221()()21(2121)21(21))21((2121)(10010110101增长因子.2sin41)cos(221)(2rrG该格式稳定需要满足1|)(|G，则21r.即显格式条件稳定，稳定条件为.21)(2xtr第五步:数值模拟我们取空间步长1.0x，空间步数为10M，时间步长0025.0t,总时间取2T.画出的图形为二、隐式格式第一步，建立显式格式,2,1,1,,2,1.,1,)(2002111111nMjuuuxuuutuunMnjnjnjnjnjnj)5(则有11111)21(njnjnjnjruurruu，)6(其中2)(xtr.第二步，存在唯一性取),,,(10nMnnnuuuu.由于,1nnuPu其中rrrrrrrrrrP21212121为三对角矩阵，所以该差分格式解唯一。第三步，截断误差，误差分析nnnnjnjtutntuttutuu)(!1)(!212221，)7(nnnnjnjnjtutntuttutuuu)(!1)(!41)(!21244422211111)8(由（7）-（8）得，截断误差).)(()())(2()(2211122tOtOxuuutuuxutuEnjnjnjnjnjnj所以，该差分显式格式精度为))((2xtO，时间一阶，空间二阶的.第四步，相容性，稳定性分析相容性:当0,0xt时，0njE,故差分格式相容。稳定性:根据Fourier变换，将分量代入（6）式中，得到nnihihnnjMjijhnjMjijhnjMjijhnjnjnjMjijhnjMjijhnuhrrueeruruerueruerruurrueueu))cos(221()()21(2121)21(21))21((2121)(1110101101111100增长因子12sin411)(2rG，故隐格式绝对稳定.第五步:数值模拟我们取空间步长1.0x，空间步数为10M，时间步长1.0t,总时间取2T.算出U的值为：1U画出的图形为三、解析解的求解我们取空间步长1.0x，空间步数为10M，时间步长1.0t,总时间取2T.在该条件下每个节点的x和t带入，求出函数u矩阵，画出的图形为2U四、结果分析我们用显、隐式格式求出的结果和解析解求出的结果作对比:用213UUU表示差分格式解和解析解的误差，做出图像。从图像可以看出该题目利用显式，隐式及解析解做出的结果及图像基本一致，数值解和解析解误差最大为)(xO，所以可以接受。但在边界值处理上稍显不足，最终导致解析解在边界处取值不合理，此问题也是日后要进一步解决的难题。在计算中发现用显格式计算虽然计算简单，但条件稳定，t受限，只能取很小，这样如若算较大的T，则需要取很大的时间步数N，不符合实际应用;而在做该题目中用解析式求给定节点的函数值耗时较长.这样不利于计算;所以对于该题目隐格式较为理想。2：用迎风格式和Lax-Wendroff格式近似无粘Burger方程的初边值问题.1),2(,2),2(,0,10,2)()0,(,0)2(02tutuxxxuxuuxtu一、迎风格式第一步，建立迎风格式的差分格式tuutunjnj1,xuuuxnjnj2)()()2(2122.由02)()(2121xuutuunjnjnjnj，得到])()[(22121njnjnjnjuuxtuu.n所以，原微分方程的初边值问题的差分格式为.,2,1,0,1,2,02,1,02,21,,2,1,0],)()[(2112002121nuuxjuxjuMjuuxtuunMnjjnjnjnjnj第二步，唯一性设2)(2uuF是通量函数，,),(111nnnjnjnjnjQuuFFruu其中10...001...0...............00001rrrrQr是上对角矩阵，所以差分方程的解是唯一的。第三步，截断误差，误差分析设2)(2uuF是通量函数，则0,0)(11xFFtuuxuFtunjnjnjnj，)1()(!31)(!213332221ttuttuttuuunjnj)2()(!31)(!213332221xxFxxFxxFFFnjnj由（1）（2）得))(()(!31!2132332211tOttuttutuxFFtuunjnjnjnj))(()(!31!21323322xOxxFxxFxFxxFttuxFtu2222!21!21)(.所以截断误差为222222)()()(21)(21xtxFxtutEkj.是)(xtO时间一阶，空间一阶的。第四步，相容性，稳定性分析相容性：当0,0xt时，0kjE，所以上述迎风格式与原方程是逐点相容的。稳定性：)(211njnjnjnjFFxtuu.令ikjhnnjikjhnnjervFevu,，则)()1(1khjinijkhnijkhnijkhnevevrevev,ikhijkhnijkhnijkhnijkhneervervevev1,nikhnvrerv)1(1,)1(ikhrerG,由1||G得当1r时，原差分格式是稳定的。所以迎风格式是条件稳定的。根据Lax等价定理，迎风格式的收敛条件为1r.第五步，数值模拟。运行结果：Burgerb=Columns1through102.06062.06122.06122.06122.06122.06122.06122.06122.06122.06122.14442.14892.14892.14892.14892.14892.14892.14892.14892.14892.23182.24432.24432.24432.24432.24432.24432.24432.24432.24432.32312.34852.34852.34852.34852.34852.34852.34852.34852.34852.41872.46272.46282.46282.46282.46282.46282.46282.46282.46282.51912.58852.58882.58882.58882.58882.58882.58882.58882.58882.62452.72752.72822.72822.72822.72822.72822.72822.72822.72822.73562.88192.88342.88342.88342.88342.88342.88342.88342.88342.85283.05423.05713.05713.05713.05713.05713.05713.05713.05712.97693.24773.25293.25293.25293.25293.25293.25293.25293.25293.10843.46623.47523.47533.47533.47533.47533.47533.47533.47533.24833.71453.72983.73003.73003.73003.73003.73003.73003.73003.3975