数列与查分

1高中数学新课标选修内容“数列与差分”主要讨论以下内容:1.首先讨论差分的概念及其对数列的描述;2.接着进一步阐述差分方程及其解的概念,研究简单差分方程的解、通解与特解的求法,其中重点讨论了一阶线性差分方程解的求法;3.最后讨论差分方程在数学建模中的一些应用.1.差分及其对数列的描述1.1数列是描述客观世界的重要数学模型数列作为定义在自然数集(或其子集)上的一种特殊函数，对描述客观世界中的离散变量具有重要作用，因为：（1）客观世界许多变量本身就是离散的(如酵母细胞的分裂,股市的开盘或收盘价的按日记录等)，它们表现出的函数关系也是离散的;（2）现实世界中存在着大量的连续函数关系难以用解析式表示(如河流水位的高低作为时间的函数等),人们只能测得其一系列值而得到一个数列;（3）有些函数关系尽管能用解析式表示,但其解析式比较复杂(如捕食与被捕食种群数的变化、接触性传染病的传播等)。在不妨碍研究结果有效性的前提下，为了方便，人们也愿意把对连续函数的研究转化为对数列的研究。而计算机技术的发展，更为数列的研究提供了方便，使数列模型的应用也日趋广泛。1.2.差分是描述数列变化的主要工具。、四阶差分、义某些数列的三阶差分。类似地，可以定}{Δ个新的数列的二阶差分又构成了一}{两次，显然数列使用了Δ即差分算子,表示差分运算进行两次2中的上标Δ差分。二阶差分项处的二阶在第}{为数列Δ-ΔΔ)Δ(Δ一般地，称分算子。称为差Δ项处的一阶差分。在第}{为数列-Δ一般地，称:差分的定义22121nnnnnnnnnnnnaaanaaaaanaaaa•差分与数列通项的关系1：对数列{an}={2,2,2,2,2},其一阶差分Δan={0,0,0,0}。一般地，常数列的一阶差分为各项是零的常数列(注意：每施行一次差分运算，所得新数列的总项数都会减少1)•关系2：对数列{an}={3n-5}={-2,1,4,7,10,13,16,19}，其一阶差分Δan={3,3,3,3,3,3,3}为常数列，其通项an=3n-5是一个线性函数。一般地，当数列{an}是由一个线性函数定义的等差数列时，其一阶差分为常数列。2•关系3：对数列{an}={n2-3n+5}={3,3,5,9,15,23}，其一阶差分Δan={0,2,4,6,8}，其二阶差分Δ2an={2,2,2,2}为常数列，其通项an=n2-3n+5是一个二次函数。一般地，当数列{an}是由一个二次函数定义时,其二阶差分为常数列。•关系4：对数列{an}={3n}={3,9,27,81,243,729,2187}，其一阶差分Δan={6,18,54,162,486,1458}，二阶差分Δ2an={12,36,108,324,972}都不是常数列，而都是公比为3的等比数列。一般地，当数列{an}是由一个指数函数定义时，其一阶、二阶差分都是以该指数函数的底数为公比的等比数列。事实上，如果把上述由线性函数、二次函数、指数函数定义的数列的一阶、二阶差分的结论作为定理，不难证明其逆定理也是成立的。这些结论对根据数列的一阶、二阶差分来研究数列遵循的变化模式，确定数列的通项是很有意义的。差分对数列的描述：①一阶差分对数列增减的描述：②一阶差分对数列极值的描述③二阶差分对数列图形凸凹的描述3。的通项差分确定该数列一、二阶差分，并根据1,1,5,11}的-1，-例1.计算数列{1，例2.构造数列{n2-4n+3}前7个值a1~a7的差分表,并据该表确定数列在何处增加、何处减少、何处达到相对极大或极小、图像上凸或下凸。解:构造差分表如下.据差分表:因Δa10,知数列在n=1处为减;Δa2,Δa3,…,Δa60,数列在n=2,3,…,6处为增;Δa10,Δa20,故在n=2处达到相对极小;对这7项而言,数列无相对极大;因为二阶差分Δ2an0,故数列图像是下凸的.n1234567an0-10381524△an-113579.55可确定数列的通项为551解得,1391241从而有,得到数列的前三项,代入3,2,1取,设通项.由一个二次函数所定义知数列通项,其二阶差分为常数}.2,2,2,2{Δ二阶差分},6,4,2,0,2{Δ其一阶差分,表示该数列}{用:解222nnaCBACBACBACBAnCBnAnaaaannnnn4△2an2222252.差分方程与差分方程的解2.1差分方程的有关的基本概念。))((:阶差分为处的可定义在的是增量的增量。类似处的二阶差分，它反映为在称之,)(:的差分步定义的函数。从而可以进一是可见们都是指向前差分。处的向后差分。以后我在为前差分。而处的向在为:定义差分算子},{设数列:差分算子.1121-1nknknnnnnnnnnnnnnxxknnxxxnxnxxxxnxxxxa的线性组合表示出来。,,,可以由:表明)2.2()1()1(;22;反之处的取值所线性决定。,,1,在由这表明)1.2()1()1()(:。故有)(:为不变算子。则有为平移算子，称,,记平移算子差分算子、不变算子、.2101021212211001nknnknnkkiinikikknknkiinikiknknnnnnnnnnnnnnnnnkkiinikikkiniikiknknknnnnnnnnxxxxxxCxxxCxxxxxxxxxxxxxxxknnnxxxCxECxIExIExIEIxExxIExIxxEx000011111)(.5.3.4.3)(.3.3)(1)(.2.3)(.1.3差分算子的若干性质.3xCxIxExyxyxyxxyyxxyyxyxxyyyyxyxyxiniinnnnkbakkbbbbkbakknnnnnnnnnnnnnnnnnn6式。)2.4(的形式是我们经常用的差分方程.是等价的)2.4(和)1.4(可知，)2.2(和)1.2(由。)关系项之间的任意一项与其前面反映的是未知数列(阶差分方程式也称为)2.4(故)2.4(),,,,(式可化为)1.4(式可知)1.2(由.阶差分方程称之为)1.4(),,,,(方程以及它的差分所构成的由差分方程.4111kxkxxxnFxkxxxnfxxnknnnknnknnnkn的稳定解。)2.4(为方程则称,lim使得的解)2.4(）如果4（的振动解。关于平衡点为是最终负的，则称既不是最终正的，也不使得的解)2.4(）如果3（。),,,(有,两边取极限)2.4(，则方程lim是极限状况，如果的变化状态，其中之一的解，考虑)2.4(为设:意义.平衡解可能不止一个.的平衡解或叫平衡点)2.4(为则称).,,,(即,的)2.4(是)为常数(）如果2（.的解)2.4(为方程则称,成立对所有的)2.4(阶差分方程使）如果1（念差分方程的解与有关概.5nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxnFxxxxxxxxxnFxxxxxnkx7]).)([)((平移性质和))()()((线性性:变换的重要性质)).((:记为,从而有逆变换,的变换是一一对应:级数的唯一性可知由复变函数展开成洛朗.变换的为)(称.0可以是,可以是其中,:它的收敛域是.洛朗级数这是关于)()(定义复数级数,对于数列:定义变换.610112210NkkkNNnnnnnnnnkkknnzxzXzxZyZxZyxZzzXZxzzxxZRRRzRzzxxZzXxZ0,!1)!1(则,!1)(设.4.70,,)(则,)(设.3.71,1)())((则,0,00,1)(.2.71)1()())((则,0,00,)(.1.7:变换举例.71000000zezknZnnfaazazzzaaZanfzzzzzkunuZkknuzzknZnnnZzkkkkknnkkkkkkkkz变换是研究数列的有效工具差分方程的z变换解法:对差分方程两边关于xn取Z变换，利用xn的Z变换F(z)来表示出xn+k的Z变换，然后通过解代数方程求出F(z)，并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的xn.求,1,0,023设差分方程.3例1012nnnnxxxxxx8.)2()1(,所以)21()1(2)1(1)1(211111)2111()(有,中解析2在)(又由.23)(得1,0由条件0)(2))((3)1)((:方程两边取变换可得),()(设:解0002100102nnnkkkkkkkkkknxzzzzzzzzzFzzFzzzzFxxzFxzFzzxxzFzxZzF2.2.差分方程(一阶)的解、通解与特解差分方程的解是一个数列。当把它代入差分方程时，得到一个恒等式，它满足任何一个初始值。例如：用数列{xn}={(1.05)nc}(c为任意常数)代入差分方程xn+1=xn+0.05xn，有：(1.05)n+1c=(1.05)nc+0.05(1.05)nc，这是一个恒等式。称数列{xn}={(1.05)nc}是差分方程xn+1=xn+0.05xn的解。差分方程的通解我们注意到,上式解中含有一个常数c,并且方程是一阶的。一般地，如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数，就称它为差分方程的通解。按此定义，xn=(1,05)nc也是一阶差分方程xn+1=xn+0.05xn的通解。差分方程的特解对上式通解xn=(1.05)nc，若给定初值x0=1000，代入通解得：1000=(1.05)0c，求得常数c=1000，称xn=(1.05)n×1000为方程相应于初值x0=1000的特解。注意：这样求出的特解是用解析式表示的。显然，相应于不同的初值，方程有不同的特解，而求特解只要将给定初始值代入通解求出待定常数即可。迭代法对差分方程(组)来说，迭代法也是用于求特解的重要方法。其操作过程为：用方程含未知数列项相同个数的初始值代入方程(组)求得第一个(组)数值，9将所得第一个(组)数值又代入方程(组)求得第二个(组)数值，……，将此过程不断重复，求得在该初始条件下满足方程(组)的特解。例4：于这一对常数。，并且后续各项都稳定0，0次时，114到第很快就能发现迭代进行在计算机上操作，我们)程序如(过程采用某种迭代程序数值解。如果这一求解这样求出的特解是一种的特解。32于初始值它们是上述方程组相应,},0123.0,0256.0,0768.0,1600.0,4800.0,0000.1{}{},0082.0,0189.0,0512.0,1184.0,3200.0,7400.0{}{:可迭代得出,代入32，用初始值242.0对一阶齐次线性方程组114114000011yxQBASICyxyxyxyxyyxxnnnnnnnn例5:.无穷大趋于}{、}{其数值解,时可见到当,操作用迭代程序在计算机上,时0不全为、若初始值,623对一阶齐次线性方程组0011nnnnnnnnyxnyxyxyyxx例6:.间变化四个值之}1,1,1,1{与}0,1,0,1{分别在}{、}{,时1,0如在.期性变化分别在四个值之间呈周都}{、}{其数值解,时可见到当,操作用迭代程序在计算机上,时0不全为、若初始值,2对一阶齐次线性方程组000011