数字信号处理_第一章.

第一章离散时间信号与系统主要内容：§1.1离散时间信号-序列§1.2离散时间系统§1.3线性差分方程的求解§1.4时域采样定理§1.5本章Matlab相关程序§1.1离散时间信号(序列)Discrete-timesignals(Sequences)一、离散时间信号的由来离散时间信号（又称序列），是连续时间信号以时间T等间隔采样得到的，T称为采样间隔（单位：秒）。32ms256samples)(10125.0256103233秒Ttx(t)一般，采样间隔是均匀的，用x(nT)表示离散时间信号在nT点上的值，n为整数。由于x(nT)顺序存放在存储器中，我们通常直接用x(n)表示离散时间信号－序列。0T2T3T4T5T6T7T8T9T…………0T2T3T4T5T6T7T8T9T0123456789nx(n)…………=nT|t=nT=x(nT)二、离散时间信号的表示方法1、用枚举的方式(数列形式)表示：x(n)={3，4，2，1，0，5，7，8}注：用箭头标出n=0在序列中的位置，上面序列的x(0)=12、用公式表示：)sin()(nAnx0302)(nnnxnn1n因为n只能取整数，所以两种写法是一样的。3、用图形的方式表示：0123456789nx(n)-11211-1-2222331011图中横坐标n表示离散的时间坐标，仅在n为整数时才有意义，纵坐标代表信号点的值。4、用单位抽样序列表示.……x(0)=2x(1)=1x(2)=2x(3)=3……三、序列的基本运算1、序列的和：两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的新序列。x(n)n012345621211y(n)n012345611111z(n)n012345632322z(n)=x(n)+y(n)……z(0)=x(0)+y(0)=3z(1)=x(1)+y(1)=2z(2)=x(2)+y(2)=3z(3)=x(3)+y(3)=2z(4)=x(4)+y(4)=2……仿真实验(Matlab)x1=wavread(‘w1.wav’);x2=wavread(‘w2.wav’);y=x1+x2;figure(1);plot(x1);gridon;figure(2);plot(x2);gridon;figure(3);plot(y);gridon;wavwrite(y,‘w3.wav’);%读入声音文件%序列求和%画图显示结果%结果保存为声音文件实验结果y(n)=x1(n)+x2(n)01234567x104-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8101234567x104-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8101234567x104-1.5-1-0.500.511.5x1(n)x2(n)y(n)‘w1.wav’‘w2.wav’‘w3.wav’2、序列的积：两序列的积是指同序号n的序列值逐项对应相乘而构成的新序列。x(n)n012345621211z(n)=x(n)*y(n)……z(0)=x(0)*y(0)=2z(1)=x(1)*y(1)=2z(2)=x(2)*y(2)=2z(3)=x(3)*y(3)=2z(4)=x(4)*y(4)=1……y(n)n012345611212z(n)n0123456222213、序列的移位：设有一序列x(n)，当m为正时：x(n-m)表示序列x(n)逐项依次右移m位后得到的序列。x(n+m)表示序列x(n)逐项依次左移m位后得到的序列。n0123456n012345-1-2-3y(n)=x(n±m)x(n)x(n)x(0)=1x(1)=2x(2)=3nx(n)012342113213213213x(n+1)213x(n-1)右移左移实例：序列右移（序列延迟）的应用延时单元可以将以前的某采样时刻的数据暂存起来，参与这个时刻的运算。1||)()()(Rnxnxny回声可以用延迟单元来生成。直接声音和它的延迟了R个周期的单个回声可以用下面的式子来表示（为回声的衰减系数）：为了生成间隔为R个周期的多重回声，可将上式改为：1||))1(()2()()()(12RNnxRnxRnxnxnyN原声：混响1：混响2：=0.3,R=5000=0.3,R=100004、序列的反褶：设有序列x(n)，则x(-n)是以n=0为纵轴将x(n)反褶后的序列。y(n)=x(-n)x(n)n01234562113-1-2-3-4x(-n)n0123456-1-2-3-4213x(n)n0123456-1-2-3-4213213213……x(n)n0123456-1-2-3-4213213213……nx(-n)0123456-1-2-3-4……213213213x(-n)n0123456-1-2-3-4……213213213思考：x(-n+1)和x(-n-1)与x(-n)的移位关系？x(n)n01234562113-1-2-3-4x(0)=1x(1)=2x(2)=3x(-n)n0123456-1-2-3-4213x(-n+1)n0123456-1-2-3-4213x(-n-1)n0123456-1-2-3-4213x(-n+1)是x(-n)右移一位后的序列x(-n-1)是x(-n)左移一位后的序列仿真实验(Matlab)x=wavread(‘w2.wav’);y=fliplr(x);figure(1);plot(x);gridon;figure(2);plot(y);gridon;wavwrite(y,‘w4.wav’);01234567x104-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8101234567x104-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81x(n)y(n)=x(-n+N)‘w2.wav’‘w4.wav’%读入声音文件%画图显示结果%结果保存为声音文件%反褶5、累加设序列x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为：nkkxny)()(它表示y(n)在某一个n0上的值等于这一个n0上的x(n0)以及n0从前的所有n值上的x(n)值之和。101)()(2121nnnxn例如：101)()(12121nnnynkn6、差分运算前向差分：)()1()(nxnxnx后向差分：)1()(nxnx差分运算反映了序列x(n)的幅值变化规律。7、序列的时间尺度（比例）变换设某序列为x(n)，则其时间尺度变换序列为x(mn)或x(n/m)，m为正整数。x(mn)为抽取序列（m1）x(n/m)为插值序列（m1）1xnxnxn例如：x(n)与x(2n)-2-1012n12345x(n)135x(2n)-2-1012n注意：x(n)=x(t)|t=nT采样间隔为Tx(2n)=x(t)|t=2nT采样间隔为2T，抽样x(n/2)=x(t)|t=nT/2采样间隔为T/2，插值四、常用的典型序列1、单位取样序列(n)-Unitsamplesequence0001)(nnn(n)n01234561-1-2-3-4(n)是一个脉冲幅度为1的现实序列。(t)是脉宽为零，幅度为的一种数学极限，是非现实信号。单位取样序列亦称单位脉冲序列，或时域离散冲激。用单位取样序列(n)表示任意序列(n)n01234561-1-2-3-42(n-1)n01234562-1-2-3-4mmnmxnx)()()(可以将任意序列表示成单位抽样序列的移位加权和x(n)=3(n-2)n01234563-1-2-3-4(n)+2(n-1)+3(n-2)n01234563-1-2-3-41220)()(mmnmx(其中，x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3)2、单位阶跃序列u(n)-Unitstepsequenceu(n)n01234561-1-2-3-478910…………0001)(nnnu用单位阶跃序列u(n)表示单位取样序列(n)：)1()()(nunun用单位取样序列(n)表示单位阶跃序列u(n)：0)()(mmnnu3、矩形序列RN(n)-RectangularsequencenNnnRN其它0101)(RN(n)n01231N-1……………………用单位阶跃序列u(n)表示矩形序列RN(n)：)()()(NnununRN用单位取样序列(n)表示矩形序列RN(n)：10)()(NmNmnnR4、实指数序列Real-valuedexponentialsequence000)()(nnanuanxnn当|a|≥1时，序列发散。当|a|1时，序列收敛。当|a|1，且a0时，序列是摇动的5、正弦序列-Sinusoidalsequence00ncos)n(x,nsin)n(x正弦序列的由来对连续时间正弦信号取样可以得到正弦序列。tsin0取样nTt00nsinnTsinT00其中，，T是取样间隔(取样周期)。0称为数字域频率，0称为模拟域频率。数字域频率和模拟域频率数字域频率是模拟域频率的T倍，以后我们就以表示数字域频率，表示模拟域频率（也表示模拟域角频率，＝2f，f表示模拟域线频率）。当序列是周期的时，表示正弦序列的序列值重复变化的快慢。例：＝0.01，则序列值每200个重复一次正弦循环＝0.1，则序列值每20个重复一次正弦循环的量纲为弧/秒，的量纲为弧。5、复指数序列Complex-valuedexponentialsequencensinjncose)n(xnj当＝0时，|x(n)|=1，arg|x(n)|=n。复指数序列ejn作为序列分解的基单元，在序列的傅里叶分析中起着重要的作用。五、序列的周期性1、定义如果对于所有n存在一个最小的正整数N，使得：x(n)=x(n+N)成立，则称x(n)为周期序列，周期为N。2、正弦序列的周期性正弦信号：)nsin(A)n(x0]sin[])sin[()(000nNANnANnx若N0＝2k，当k为整数时(即N0为2的整数倍)，则有：x(n)=x(n+N)，x(n)为周期信号。观察N0＝2k：(即)kN02(1)当2/0为整数时：k=1，则N=2/0为最小整数，且保证x(n)=x(n+N)。(2)当2/0为有理数时(有理数可表示成分数)：kN02若N、k互素，则此时N取得最小整数，使x(n)=x(n+N)。(3)当2/0为无理数时：任何k都不能使N为整数，此时x(n)不是周期性的。注：此时k≠1。3、讨论一个正弦序列若由一个连续正弦信号抽样而得，那么抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应该是什么关系才能使所得到的抽样序列仍为周期序列？设连续正弦信号为x(t)：)sin()(0tAtx连续信号x(t)的角频率为002f连续信号x(t)的周期为00021fT若对x(t)抽样，设抽样时间间隔为T，有：)sin(|)()(0nTAtxnxnTt若令0为数字频率，它满足：00000221TTfffTss其中fs是抽样频率，0是相对频率，是连续信号角频率0相对抽样频率fs的频率。)sin(|)()(0nTAtxnxnTt)sin(0nA在分析一个序列的周期性时，是通过分析2/0的值来实现的。(1)当2/0为整数时：TTT00022说明:连续正弦信号x(t)的周期T0是抽样间隔的整数倍，或者说，是在一个连续信号的周期T0内以T为采样间隔采样了N个点。