数字信号处理习题解答

1第一章2、已知线性移不变系统的输入为()xn，系统的单位抽样相应为()hn，试求系统的输出()yn。（2）3()(),xnRn4()()hnRn解：此题考察线性移不变系统的输出为激励与单位抽样相应的卷积，即：()()*(){1,2,3,3,2,1}ynxnhn4、判断下列每个序列的周期性，若是周期性的，试确定其周期。3()cos()78xnAn解：03()cos()78314N=2/2/7314,3xnAnkkkk是周期的，周期是。6、试判断系统的线性和移不变性。2(2)()ynxn解：2()ynxn2111)(nxnxTny2222nxnxTny212121nbxnaxnbynaynbynaynbxnaxTnxnabxnbxnaxnbxnaxnbxnaxT2121212221221212即系统是移不变的即mnymnxTmnxmnymnxmnxT228、以下序列是系统的单位抽样响应()hn，试说明系统的因果性和稳定性。（4）3()nun解：因果性：当0n时，()0hn，是非因果的；稳定性：0123|()|3332nhn，是稳定的。11、有一理想抽样系统，抽样角频率为6s，抽样后经理想低通滤波器()aHj还原，其中1,3()20,3aHj今有两个输入，12()cos2,()cos5aaxttxtt。输出信号有无失真？为什么？解：要想时域抽样后能不失真的还原出原始信号，则要求抽样频率大于2倍信号频谱的最高频率，即满足奈奎斯特抽样定理。根据奈奎斯特定理可知：失真。频谱中最高频率无失真。频谱中最高频率)(3265,5cos)()(3262,2cos)(222111tyttxtyttxaaaaaa第二章1、求以下序列的z变换，并求出对应的零极点和收敛域。（1）||(),||1nxnaa解：由Z变换的定义可知：1010212()111(1)(1)1(1)1()()nnnnnnnnnnnnnnnXzazazazazazazaaazazazzazazzaazzazazazazaaz,01,11,1零点为：极点为：即：且收敛域：2、假如()xn的z变换代数表示式是下式，问()Xz可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？)83451)(411(411)(2122zzzzzX解：对X(z)的分子和分母进行因式分解得11211111111(1)(1)22()113(1)(1)(1)424112113(1)(1)(1)224ZZXZZZZZjZjZZX(z)的零点为：1/2，极点为：j/2,-j/2,-3/4∴X(z)的收敛域为：(1)1/2|z|3/4,为双边序列000()sin[()]sin[]xnNAnNANn02Nk02kN系统不是线性系统2(2)|z|1/2,为左边序列(3)|z|3/4，为右边序列6.有一信号)(ny,它与另两个信号)(1nx和)(2nx的关系是：)1()3()(21nxnxny其中)(21)(1nunxn，)(31)(2nunxn，已知111)]([aznuaZn，az，。变换的变换性质求利用)()(zYznyz解：根据题目所给条件可得：112111)(znx123111)(znxZ131211)3(zznxZ21zzzXnxZ3111)()(122311zzznxZ311)1(123z而)1()3()(21nxnxny所以123113()(3)(1)11112331(3)()2YzZxnZxnzzzzzzz12.已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统)1()2()1()(nxnynyny(1)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；(2)求此系统的单位抽样响应；(3)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。解：（1）对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：)()()()(121zXzzYzzYzzY所以))((1)()()(21211azazzzzzzXzYzH零点为z=0，极点为62.1515.01azz62.0515.02az因为是因果系统，所以|z|1.62是其收敛区域。（2）1212121112121200121()()()111111nnnnnnzzzHzzazaaazazaaaazazazazaa62.0,62.1)(1)(212121aanuaaaanhnn式中所以由于)(zH的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。（3）若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选)(zH的收敛区域为12aza，即62.162.0z，则21211)(azzazzaazH中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。1120121()nnnnnnHzazazaa)()62.0()1()62.1(447.0)()1(1)(2112nununuanuaaanhnnnn则有从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。13、研究一个输入为)(nx和输出为)(ny的时域线性离散移不变系统，已知它满足)()1()(310)1(nxnynyny，并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。解：对给定的差分方程两边作Z变换，得：3)31)(3(3101)()()()()()(310)(11zzzzzzXzYzHzXzzYzYzYz则：31,321zz极点为，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取1/3||3z。利用第十二题(3)的结果123,1/3aa即可求得)(31)1(383)(nununhnn第三章1、如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。-6-5-4-3-2-1012345678910111412108642()xnn…………552660022222234566666X()()()1412108610jnknknnjkjkjkjkjkkxnWxneeeeee解：计算求得：(0)60;(1)933;(2)33;(3)0;(4)33;(5)933XXjXjXXjXj。3.设1,04(),0nnxnn，其它4()(2)hnRn。令66()(()),()(()),xnxnhnhn试求()()xnhn与的圆周卷积并作图。解：在一个周期内的计算值()()*()()ynxnhnhnm如下图所示：-6-5-4-3-2-1012345678910111412108642()ynn…………8、如下图表示一个5点序列()xn。（1）试画出1()()()ynxnxn；（2）试画出2()()()ynxnxn⑤；（3）试画出3()()()ynxnxn⑩。解：由图可知(){1,0,2,1,3|0,1,2,3,4}xnn则（1）线性卷积xnxn为()()()(),mxnxnxmxnmn10213102133063910213204261021310421041369故，1()ynxnxn={1,0,4,2,10,4,13,6,9;n=0,1,2,3,4,5,6,7,8}(2)利用圆周卷积是线性卷积以5点位周期的周期延拓序列的主值序列，故2(0)y=1+4=5；2(1)y=0+13=13；2(2)y=4+6=10；2(3)y=2+9=11；2()yn=xn⑤xn={5,13,10,11,10;n=0,1,2,3,4}(3)当圆周卷积的长度大于等于线性卷积非零值长度时，两者相等，故3()()()ynxnxn⑩={1,0,4,2,10,4,13,6,9,0;n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}414、设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。解：（1）111010PPTFHzTsF而因此最小记录长度为0.1s；（2）31110100.1sfKHzT1252shhsffffKHz所以允许处理的信号的最高频率为5KHz；（3）30.11010000.1PTNT，又因为抽样点数必须为2的整数幂，因此记录的最少点数为1021024N第四章1、如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5us，每次复加0.5us，用它来计算512点DFT[x(n)]，问直接计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。解：(1)直接计算:复乘所需时间：621625105105121.31072TNs复加所需时间：626120.510(1)0.510512(5121)0.1308161.441536TNNsTTTs(2)用FFT计算：复乘所需时间：6122651222510log510log5120.01152NTNs复加所需时间：62262120.510log0.510512log5120.0023040.013824TNNsTTTs2、（1）画出4点基2频率抽取IFFT的运算流图；（2）(){2,13,4,13;0,1,2,3}Xkjjk，基于该运算流图，试计算()xn的值。解：（1）（6分）4点基2频率抽取IFFT的运算流图如下图所示。（2）（6分）由图可得，111221112201124221112422111122011411221222(0)(0)(2)243(1)(1)(3)13131(0)(0)(2)241(1)(1)(3)13133(0)(0)(1)311(2)(0)(1)3(1)2(1)(0)xXXxXXjjxWXXxWXXjjjxxxxWxxxxx1201142222(1)132(3)(0)(1)131xWxx故，(){1,2,2,1;0,1,2,3}xnn第五章1、用直接I型及典范型结构实现以下系统函数：21214.06.028.02.43)(zzzzzH解：21212.03.014.01.25.1)(zzzzzH)2.03.0(14.01.25.12121zzzz∵)()(1)(10zXzYzazbzHNnnnMmmn