数字信号处理-第6章II

1利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计过程：IIR数字滤波器设计设计技术成熟有相当简便的公式和图表模拟滤波器)(sHaAF由此设计数字滤波器)(zHDF要求DF特性模仿AF的特性实际上是个映射问题Mapping离散时间域(Z平面)转换关系连续时间域(S平面)2转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。Re(z)jIm(z)0z平面1z1z2ххj0S平面S1xS2xхх3两种常用的映射变换方法一、脉冲响应不变法二、4利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT),T为采样周期。如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的Z变换，即Ha(s)=LT[ha(t)],H(z)=ZT[h(n)]Ha(s)LT-1[Ha(s)]ha(t)时域采样h(n)ZT[h(n)]H(z)所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法6.3用脉冲响应不变法设计5计算H(Z):脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达传递函数，模拟滤波器的传递函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N＞M，则可表达为部分分式形式；其拉氏反变换为：单位阶跃对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列NiiissAsHa1)(NitsiatutueAthi1)(),()(NiNinTsinTsinueAnueAnThanhii11)()()()()(6再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，01011)()(nNinnTsNiinnTsizeAzeAzHiikTskTszezeii111)(1,0)(1kkTszei所以有NiTsizeAzHi111)(必有7比较看到：S平面上的极点S=Si变换到Z平面上是极点,而Ha(s)与H(Z)中部分分式所对应的系数不变，但要注意，这种Ha(s)到H(Z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。稳定性：如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点Si都在S左半平面，即Re[si]＜0,那么变换后H(Z)的极点也都在单位圆以内，即,因此数字滤波器保持稳定。TsiezTsie1)(TsRTsieiee8根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系②①理想采样的拉氏变换与模拟信号的拉氏变换之间的关系。②理想采样的拉氏变换与采样序列的Z变换之间存在的S平面与Z平面的映射关系。maamTjsHTsH21)(ˆ)(ˆtah)(sHa)(tha)(ˆtah)(sHa)(sHa)(nh)(zH9nnsTnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()(])()([)(ˆaaaannsTenh)(nnznhzH)()(sTezs平面与z平面的映射关系10以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的S平面到Z平面的变换，正是以前所讨论的拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过的映射关系映射到Z平面上。STez11映射关系：S平面上每一条宽为的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，轴映射到单位圆上，轴上每一段都对应于绕单位圆一周。STezT2jjT2jsrezj,令TerT,则12j0TT3T3T)Im(zj)Re(z0S平面Z平面~:13应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。混迭：由②式，还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：③周期为TmjjHTeHamj21Ts214正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2以内，即20)(sajH15这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。)(1)(TjHTeHaj16脉冲响应不变法中的频响混淆)(jeH0T0T)(jHa17例将一个具有如下传递函数的模拟滤波器数字化。解：3111)3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT18模拟滤波器的频率响应为:4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs19数字滤波器的频率响应为:显然与采样间隔T有关T越小,衰减越大,混叠越小,当fs=24Hz,混叠可忽略不计,为什么混迭呢?2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj)(jeH2021实际应用中的问题：（1）)(1)(TjHTeHaj实用公式：NiTsizeTAzHi111)(此时，)()()()(TjHeHnThTnhaja22（2）复数乘法器的问题：kA1zTske23若AF的二阶基本节的形式为1121211j,)(极点为－ss则相应的DF的二阶节的形式为T1TTTezTezTez111221111cos21cos1－24若AF的二阶基本节的形式为1121211j,)(极点为－s则相应的DF的二阶节的形式为T1TTTezTezTez111221111cos21sin25脉冲响应不变法的优缺点优点：1、频率变换是线性关系;w=T，数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性；2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好；3、如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是稳定的。26缺点：1.有频谱混迭失真现象；(S平面到Z平面有多值映射关系)因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中2.由于频谱混迭，使应用受到限制。(T失真，但运算量,实现困难)276.4脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。28s平面s1平面z平面双线性变换法的映射关系29双线性变换法消除频谱混迭的原理非线性压缩：(S平面S1平面映射)双线性变换法用正切变换实现非线性频率压缩，设Ha(s)，s=jΩ，经过非线性频率压缩后用Ha(s1)，s1=jΩ1表示。则：上式表明：当Ω1从π/T经过0变化到-π/T时，Ω则由∞经过0变化到-∞，这样实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。121tan()2TT0/T-/T1T：时域采样间隔；30将这一关系解析扩展至整个S平面，则得S平面到S1再将S1平面通过标准变换关系映射到Z平面，TsTseecTscs1111)2(th1zzTsTsez131考虑z=ejω,)2/(2tgTjjTjTeeTsjj)2(tg22cos)2/sin(211232最后得S平面与Z双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应即数字滤波器的频率响应终止于折迭频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。zzTssTsTz)/()/(通常取C=2/T，33现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：①当时，（1）式，得：jezjjtgTeeTsjj22112对单位圆,即S平面的虚轴映射到Z平面正好是单位圆。034②代入（2）式js2222221221||,221221TTTTzTjTTjTz1||,0;1||,0zz时时即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。351)与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个jΩ轴单值的对应于单位圆一周，关系式可见，ω和Ω为非线性关系。22tgT36说明：s平面上Ω与z平面的ω成非线性正切关系，当ω增加时，Ω增加得很快，当ω趋于π时，Ω趋于∞，由于这种非线性关系，消除了频率混叠现象。代价：影响数字滤波器频响逼真模拟滤波器的频响的逼真度，存在幅度失真和相位失真。372)Ω与ω成非线性关系，会导致：a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，bktgjHeHbkjHtgj2)()()(238b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器3940虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。41例如，一个考尔型的模拟滤波器Ha(s)，双线性变换后，得到的H(z)在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正。42五、双线性变换法的预畸变对边缘临界频率点产生的畸变，可通过频率的预畸