数字信号处理第7章上

1IIR滤波器优点在于可利用模拟滤波器设计的结果，但有明显缺点：就是相位非线性，若需要线性相位，则要采用全通网络进行校正。FIR滤波器的优点正在于线性相位的可实现性，因此，我们最感兴趣的是具有线性相位的滤波器。而对非线性相位的FIR滤波器，一般不作研究，可用IIR滤波器来代替。第七章有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法22）FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的，极点在z-平面原点，因而系统稳定；1）可以具有严格的线性相位特性及任意的幅度特性，波形失真小；FIR滤波器的的特点：3）只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长序列，因而可用因果系统逼近非因果系统；35）同样幅度衰减特性，FIR比IIR阶次高；4）FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的，可用FFT快速高效处理信号；注意：前面已介绍过IIR滤波器的设计，但它的各种变换法，对FIR滤波器设计是不适用的，其原因在于系统函数只是Z-1的多项式，而IIR设计中是利用Z-1的有理分式。4一、线性相位FIR滤波器的特点二、FIR滤波器的设计方法1、窗函数设计法；2、频率抽样设计法；3、最优化设计法——切贝雪夫最佳一致逼近法内容包括：5在有限z平面有（N-1）个零点，在z=0处有（N-1）阶极点。一、线性相位FIR滤波器的特点1、单位冲激响应h(n)的特点：FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的，其Z变换为：6如果FIR滤波器的单位抽样响应h(n)为实数，而且满足以下任一条件：偶对称h(n)＝h(N-1-n)奇对称h(n)＝-h(N-1-n)其对称中心在n＝(N-1)/2(不一定为整数)处，则滤波器具有准确的线性相位。具体:n＝0和n＝N-1,n＝1和n＝N-2,…对称.2、线性相位条件7系统函数可以写成：)()()()()(jjjjeHeeHeH如果是线性相位特性，则有：)(或0)(即群延时响应dd)(为常数。线性相位条件推导：8将)(代入)()()()()(jjjjeHeeHeH有jjNnnjjeeHenheH)()()(10比较等式两边的实部和虚部，有：1010)sin()()sin()()cos()()cos()(NnjNnjnnheHnnheH91010)cos()()sin()()cos()sin()tan(NnNnnnhnnh所以：0)sin()cos()()cos()sin()(1010NnNnnnhnnh即：0)(sin)(10Nnnnh当10),1()(21NnnNhnhN时，上式成立。（偶对称）二者卷积（奇对称）10同理，当0)(时，有：0)(sin)(100Nnnnh当10),1()(2210NnnNhnhN时，上式成立。（奇对称）此时，除产生线性相移外，还有2固定相移（偶对称）11N为奇数N为奇数N为偶数N为偶数四种类型线性相位FIR数字滤波器:1213及由又3、线性相位FIR滤波器频率响应的特点14取“+”表示偶对称：取“-”表示奇对称：上式两边同时加H（Z），再用2去除得：15幅度函数相位函数1）h（n）为偶对称16特点：幅度函数H(ω)(不同于幅频响应)包括正负值，相位函数是严格线性相位，说明滤波器有(N-1)/2个抽样的延时，它等于单位抽样响应h(n)长度的一半。小结：当h(n)为偶对称时，FIR滤波器是准确的线性相位滤波器。171()2N)1N()(,2(1)N0()2)21N()(,18幅度函数相位函数2）h（n）为奇对称19特点：相位函数仍是线性，但在零频率(ω＝0)处有π/2的截距。不仅有(N-1)个抽样的延时，还产生一个π/2的相移。小结：当h(n)为奇对称时，FIR滤波器将是一个具有准确相位的正交变换网络。（如希尔伯特变换）20可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。0,()2,()(1)232,()()2NN3()2N(1)2N()20221h(n)偶对称时的线性相位特性h(n)奇对称时的相移线性相位待性正交变换网络22)1(21cos21cosnNNnN上式也是一个偶对称。4、幅度函数的特点（分四种情况）1）h（n）偶对称，N为奇数23所以：即：24)cos(n在2,,0处均为偶对称因此)(H在2,0,(对称中心)处也为偶对称,四种滤波器都可设计。()(2)HH（低通、高通、带通、带阻）25有2）h（n）偶对称，N为偶数26当时，021cosn因此)(zH在1z必有一个零点，所以高通或带阻滤波器不能用这种滤波器，适合于设计低通、带通滤波器。()H在(对称中心)时呈奇对称；2,0(对称中心)时呈偶对称。()(2)HH在2728上式也是一个奇对称。由有021Nh3）h（n）奇对称，N为奇数29所以30)sin(n在2,,0处均为零，因此，)(zH在1z处都为零。)sin(n在2,,0处呈奇对称，因此，()H在2,0,处呈奇对称。所以低通、高通或带阻滤波器不能用，但适合于设计带通、微分器和线性相位900移相器（希尔伯特变换器）。(对称中心)()(2)HH314）h（n）奇对称，N为偶数3221sinn在2,0处为零，因此)(H在2,0处为零，)(zH在1z处为零点。21sinn在2,0处呈奇对称，因此)(H在2,0处呈奇对称，在处呈偶对称。适合于设计高通、带通滤波器，微分器和线性相位900移相器（希尔伯特变换器）。(对称中心)()(2)HH3334四种线性相位FIRDF特性第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。35四种线性相位FIR滤波器的群延迟响应都是：当N为奇数时，滤波器的群延迟响应为整数个抽样间隔；当N为偶数时，滤波器的群延迟为整数个抽样间隔加上1/2个抽样间隔。36线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对（共轭镜像）。5*、零点位置37线性相位FIR滤波器的零点结构:38即：0,0,iijiirerzi4321111111111)1)(1()(zazbzazerzerzerzerzzHiiiijijijijiiiiiiiirrbrracos41,cos12222四个零点1）零点zi既不在实轴上，也不在单位圆上39也可转化成两个实系数二阶多项式：2122212cos2cos211)(zzrrzrzrrzHiiiiiiii在这种情况下，N=5，221N零点是互为倒数的两组共轭对。40即：或0,1,iijiirerzi2111cos21)1)(1()(zzezezzHijjiii在这种情况下，N=3，121N2）零点zi在单位圆上，但不在实轴上零点是一组共轭对。41即：或0,1,iijiirerzi21111111)1()(zzrrzrzrzHiiiii取“+”相当于i，取“-”相当于0i在这种情况下，N=3，121N3）零点zi在实轴上，但不在单位圆上零点只有倒数部分，无复数共轭部分。42即：或0,1,iijiirerzi11)(zzHi取“+”表示1z，取“-”相当于1z在这种情况下，N=2，2121N4）零点zi既在实轴上，也在单位圆上只有这两种情况。43线性相位FIR滤波器的)(zH由以上这几种因子的组合构成。只可能可以根据实际的频率响应的需要，选择合适的零点组合方式，以达到控制频率响应的目的。44二、FIR滤波器的设计方法1、窗函数设计法（傅立叶级数法）1）思路和设计方法一般来说，理想频响是分段恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题：怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)？45最简单的办法是直接截取一段hd(n)代替h(n)。这种截取可以形象地想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)，因此，h(n)也可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积，即h(n)=w(n)hd(n)在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN（n），以后还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。46I、由理想的频率响应得到理想的)(jdeH);(nhdII、由加窗得到因果、有限长的单位抽样响应)(nhd;)(nhIII、由得到实际的较好的频率响应。具体为：)(nh设计方法:47已知理想滤波器频率响应：)(jdeH有：deeHnhnjjdd)(21)(特点：无限长，非因果解决办法：截断，移位即：)()(anhnhd10,21NnNa（这里暗含了截断）48以截止频率为c，群延迟响应为的理想低通滤波器为例，有：这是一个以为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，事先给一线性相位49)(jwdeHw0)(nhdn0cwcw线性相位的滤波器。求的设计一个能满足技术要断效应，如何用窗函数法减少截截断效应的产生，以及。下面我们会讨论这种因此，也称为截断效应直接截断引起的，将这个吉布斯效应是由于要求。从而满足不了技术上的尤其使阻带的衰减小，和阻带内的波动性，效应。它将引起通带内（在频域就是吉布斯肯定会引起误差，表现去代替的序列这样我们用一个有限长，，其系统函数为长度为单位取样响应为设实际实现的滤波器的FIRnhdGibbsnhnhznhzHzHNnhdNnn)()),()()()()(),(1050取窗函数（矩形窗函数）：为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时应为h(n)长度N的一半,即21Na)(nWn1N051以上即为所求滤波器单位抽样响应。n0)(nhd1N52用窗函数（矩形）截断理想滤波器的单位抽样响应：频域卷积:时域相乘:53计算所求滤波器的频率响应：54幅度函数窗函数的频谱:1()()2Nww相位函数)(wWRw31)(w211Ntg主瓣N2N2N4N4wsin2()sin2RNW55由上式可知，影响实际FIR数字滤波器频率响应的幅度函数的是窗函数频率响应的幅度函数。)(H)(RW线性相位二者的卷积为:56矩形窗的卷积过程：57（1）时，011(0)1()()22ccRRHWdWd也就在到全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。()RW()dH0cc