必修一全部知识点及典型例题

11第一部分集合知识点一集合的含义1．集合的中元素的三个特性：元素确定性元素的互异性元素的无序性2.集合的表示：{…}集合的表示方法1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：{xR|x-32},{x|x-32}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:3．集合的分类：有限集无限集空集4．常见集合表示R实数集Q有理数集N自然数集Z整数集N*正整数集C复数集二集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”①任何一个集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB或BA③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB，即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB，即AB={x|xA，或xB})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作ACS，CSA=},|{AxSxx且韦恩图示AB图1AB图2性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．SA22第二部分函数知识点一.函数.1、映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。（象与原象P36）注意:对映射定义的理解。判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域(注意区间表示方法)两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是（）A、xxgxxflg2)(,lg)(2B、)1lg()1lg()(,11lg)(xxxgxxxfC、vvvguuuf11)(,11)(D、f（x）=x，2)(xxf2、}30|{},20|{yyNxxM给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）A、0个B、1个C、2个D、3个3函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx，若()3fx，则x=二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)练习.函数20.5log(43)yxx221533xxyx211()1xyx的定义域.xxxx1211122211112222yyyy3OOOO332求函数定义域的两个难点问题（1）()x已知f的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。（2）(21)xx已知f－的定义域是[-1,3],求f()的定义域练习.设2()lg2xfxx，则2()()2xffx的定义域为__________变式练习：24)2(xxf，求)(xf的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1．（直接法）2123yxx2．2()2242fxxx3．（换元法）12xxy4.（Δ法）432xxy5.11y22xx446.(分离常数法)①1xxy②31(24)21xyxx7.(单调性)3([1,3])2yxxx8.①111yxx，②11yxx(结合分子/分母有理化的数学方法)9．(图象法)232(12)yxxx10．(对号函数)82(4)yxxx11.(几何意义)21yxx四．函数的奇偶性1．定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数。2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0fxfx奇函数()()0fxfx偶函数3.性质：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]4．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系551已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf2已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；3已知)(xf在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyxfyfxfyx有证明：)(xf在（－1，1）上为奇函数；4若奇函数))((Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_______五、函数的单调性1．证明函数单调性的方法：（Ⅰ）.定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．66（Ⅱ）用导数证明：若)(xf在某个区间A内有导数，则)0)(Axxf，（’)(xf在A内为增函数；)0)(Axxf，（’)(xf在A内为减函数。2．求单调区间的方法：a.定义法：b.导数法：c.图象法：d.复合函数)(xgfy在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则)(xgf为增函数；若f与g的单调性相反，则)(xgf为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。3．一些有用的结论：a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；c.在公共定义域内增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。d.函数)0,0(baxbaxy在,,abab或上单调递增；在abab，或00,上是单调递减。4设xgfy是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则xgfy在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则xgfy在M上是增函数。（同增异减）1判断函数)()(3Rxxxf的单调性。2例函数)(xf对任意的Rnm,，都有1)()()(nfmfnmf，并且当0x时，1)(xf，77⑴求证：)(xf在R上是增函数；⑵若4)3(f，解不等式2)5(2aaf3函数)26(log21.0xxy的单调增区间是________4(高考真题)已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)75．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0fxfxxx单调递增1212()()0fxfxxx单调递减六．函数的周期性：1．（定义）若)0)(()(TxfTxf)(xf是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是)(xf的周期（推广）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期对照记忆()()fxafxa说明：()()faxfax说明：2．若)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；则)(xf周期是2a881已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(A)－1(B)0(C)1(D)22定义在R上的偶函数()fx，满足(2)(2)fxfx，在区间［-2,0］上单调递减，设(1.5),(2),(5)afbfcf，则,,abc的大小顺序为_____________3已知f(x)是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(fxfxfxf若则f(2005)=.4已知)(xf是(-，)上的奇函数，)()2(xfxf，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=________5设)(xf是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足)()2(xfxf，当]2,0[x时22)(xxxf⑴求证：)(xf是周期函数；⑵当]4,2[x时，求)(xf的解析式；⑶计算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2.求反函数的步骤：①求原函数)(xfy，)(Ax的值域B②把)(xfy看作方程，解出)(yx；③x，y互换的)(xfy的反函数为)(1xfy，)(Bx。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1[f(x)]=x;（5）若点(a,b)在y=f(x)的图象上，则(b,a)在y=f--1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;991设函数()yfx的反函数为1()yfx，且(21)yfx的图像过点1(,1)2，则1()yfx的图像必过()（A）1(,1)2（B）1(1,)2（C）(1,0)（D）(0,1)2：)1(2log3xy，)0(x的反函数为。3：已知)0(,32)(2xxxxf，求)12(xfy的反函数。4：设)0(,329)(1fxfxx则。八．一次函数与正比例函数1．正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过两点O(0，0)，A(1，k)的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)