必修五第一章解三角形

第一章解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，已知a＝3，b＝1，A＝130°，则此三角形解的情况为()A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定答案B解析因为ab，A＝130°，所以AB，角B为锐角．因此该三角形只有一解．2．在△ABC中，若B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定答案C解析根据余弦定理，得cos120°＝a2＋c2－b22ac＝－12，即a2＋c2－b2＝－ac.故a2＋ac＋c2－b2＝0.3．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是()A．60°B．90°C．120°D．135°答案C解析∵在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝1∶1∶3.设a＝b＝k，c＝3k(k0)，则cosC＝k2＋k2－3k22×k×k＝－12.故C＝120°，应选C.4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且c＝60°，则ab的值为()A.43B．8－43C．1D.23答案A解析由(a＋b)2－c2＝4，得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①∵a2＋b2－c2＝2abcosC，∴方程①可化为2ab(1＋cosC)＝4.因此，ab＝21＋cosC.又∵C＝60°，∴ab＝43.5．设a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程(a2＋bc)x2＋2b2＋c2x＋1＝0有两个相等的实数根，则A的度数是()A．120°B．90°C．60°D．30°答案C解析∵由题意可知题中方程的判别式Δ＝4(b2＋c2)－4(a2＋bc)＝0，∴b2＋c2－a2＝bc，cosA＝12.又∵0°A180°，∴A＝60°.6．若△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2.又∵b2＝ac，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.故此三角形为等边三角形．7．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若此三角形有两解，则x的取值范围是()A．x2B．x2C．2x22D．2x23答案C解析方法一要使三角形有两解，则ab，且sinA1.∵由正弦定理可得asinA＝bsinB，即sinA＝asinBb＝2x4，∴x2，24x1.∴2x22.方法二∵要使三角形有两解，则ba，basinB，即2x，2xsin45°，∴2x22.8．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d1与第二辆车和第三辆车之间的距离d2之间的关系为()A．d1d2B．d1＝d2C．d1d2D．不能确定大小答案C解析设山顶为点P，山高为PD，第一、二、三辆车分别为A，B，C，俯角差为α，作出图像如右图，由题知∠CPB＝∠BPA＝α，由正弦定理，得d2sinα＝PBsin∠PCB，d1sinα＝PBsin∠PAB，即PBsinα＝d2sin∠PCB＝d1sin∠PAB，又∵sin∠PABsin∠PCB，∴d1d2.9．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为()A．1a5B．1a7C.7a5D.7a7答案C解析由锐角三角形及余弦定理知：32＋a2－420，32＋42－a20，a0⇔a27，a225，a0⇔7a5.10．(2013·新课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5答案D解析由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝125.∵A∈(0，π2)，∴cosA＝15.∵cosA＝36＋b2－492×6b＝15，∴b＝5或b＝－135(舍)．故选D项．11.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(2＋6)nmile/hB．20(6－2)nmile/hC．20(3＋6)nmile/hD．20(6－3)nmile/h答案B解析在△MNS中，∠SMN＝45°，∠MNS＝105°，∠MSN＝30°，于是MNsin30°＝20sin105°，解得MN＝10(6－2)(nmile)．故所求货轮的速度为106－212，即20(6－2)(nmile/h)12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B．－725C．±725D.2425答案A解析在△ABC中，由正弦定理，得bsinB＝csinC.∴sinCsinB＝cb，∴sin2BsinB＝85，cosB＝45.∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝725.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知在△ABC中，7sinA＝8sinB＝13sinC，则C的度数为________．答案120°解析由asinA＝bsinB＝csinC及7sinA＝8sinB＝13sinC，得a∶b∶c＝7∶8∶13.设a＝7k，b＝8k，c＝13k(k0)，则有cosC＝7k2＋8k2－13k22×7k×8k＝－12.又∵0°C180°，∴C＝120°.14．在△ABC中，已知D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°，若AC＝2AB，则BD＝________.答案2＋5解析如图，设AB＝k，则AC＝2k.再设BD＝x，则DC＝2x.在△ABD中，由余弦定理，得k2＝x2＋2－2·x·2·(－22)＝x2＋2＋2x.①在△ADC中，由余弦定理，得2k2＝4x2＋2－2·2x·2·22＝4x2＋2－4x，即k2＝2x2＋1－2x.②由①②得x2－4x－1＝0，解得x＝2＋5(负值舍去)．故BD＝2＋5.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则A的大小为________．答案π6解析∵sinB＋cosB＝2sin(π4＋B)＝2，∴sin(π4＋B)＝1.又∵0Bπ，∴B＝π4.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝2×222＝12.又∵ab，∴AB.∴A＝π6.16．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是1532.其中正确结论的序号是________．答案②③解析由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k0)，a，b，c随着k的变化而变化，可知结论①错误．∵cosA＝5k2＋3k2－7k22×5k×3k0，∴结论②正确．∵sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3，∴结论③正确．∵cosA＝－12，sinA＝32，若b＋c＝8，不妨设b＝5，c＝3，a＝7，则S△ABC＝1534，∴结论④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)解答下列各题：(1)在△ABC中，已知C＝45°，A＝60°，b＝2，求此三角形最小边的长及a与B的值；(2)在△ABC中，已知A＝30°，B＝120°，b＝5，求C及a与c的值．解析(1)∵A＝60°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝75°.∴CAB.∴cab，即c边最小．由正弦定理可得a＝bsinAsinB＝2sin60°sin75°＝32－6，c＝bsinCsinB＝2sin45°sin75°＝23－2.综上可知，最小边c的长为23－2，a＝32－6，B＝75°.(2)∵A＝30°，B＝120°，∴C＝180°－(A＋B)＝30°.∴A＝C.∴a＝c.由正弦定理可得a＝bsinAsinB＝5sin30°sin120°＝533.综上可知，C＝30°，a＝c＝533.18．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解析(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－14，0Cπ，∴sinC＝104.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14及0Cπ，得cosC＝±64.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0(b0)，解得b＝6或b＝26.故b＝6，c＝4或b＝26，c＝4.19．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.解析(1)由题意结合正弦定理，得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝22.又B为三角形的内角，因此B＝45°.(2)由于sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a＝bsinAsinB＝2＋62＝1＋3，c＝bsinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.20．(12分)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a＝2csinA.(1)求角C的值；(2)若c＝7，且S△ABC＝332，求a＋b的值．解析(1)由3a＝2csinA及正弦定理，得ac＝2sinA3＝sinAsinC.∵sinA≠0，∴sinC＝32.又∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π3.(2)方法一c＝7，C＝π3，由面积公式，得12absinπ3＝332，即ab＝6.①由余弦定理，得a2＋b2－2abcosπ3＝7，即a2＋b2－ab＝7.②由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.方法二前同方法一，联立①②得a2＋b2－ab＝7，ab＝6⇔a2＋b2＝13，ab＝6，消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4或a2＝9，即a＝2，b＝3或a＝3，b＝2.故a＋b＝5.21．(12分)已知△ABC的面积是30，其内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值．解析由cosA＝1213，得sinA＝1－12132＝513.又∵12bcsinA＝30，∴bc＝156.(1)AB→·AC→＝bccosA＝156×1213＝144.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×(1－1213)＝25.又∵a0，∴a＝5.22．(12分)(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解析(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)．所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429.由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝1－sin2A＝13.