怎样推导压杆的临界力和临界应力公式

06、基本知识怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）材料力学第1页，共19页06、基本知识怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（[e-mail]），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。1*问题的提出及其对策...........................................................................................................11.1问题的提出及其对策........................................................................................................11.2压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比............................................................22压杆临界压力Fcr的计算公式.................................................................................................32.1压杆稳定的力学模型——弯曲平衡................................................................................32.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程.............................................................................42.3按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力............................................................62.4按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力............................................82.5按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力..........................................102.6按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力..........................................................142.7将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总................................181*问题的提出及其对策1.1问题的提出及其对策试计算长度为400mm，宽度为10mm，厚度为1mm的钢锯条，在一端固定、一端铰支的情况下，许用的轴向压力。材料的许用应力为160MPa。解：1、按轴向拉压强度计计算2/160160120mmNMPammmmFAFNN2、按压杆稳定临界力公式计算43335120121121mmmmmmbhIZNmmmmMPalEIFCR28.12340021020000024222分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压3.2kN。这是一个什么概念呢？一袋水泥重50kg，对应重力NsmkgmgW500/10502，即该钢kNNmmNmmmmFN2.33200/160120206、基本知识怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）材料力学第2页，共19页板尺可以安全承压6.4袋水泥，这显然是不可能的。2、按压杆稳定临界力计算公式的结果，该钢板尺在承压12.28N时，就可能变弯了。这又是一个什么概念呢？一小袋食盐重0.5kg，对应重力NsmkgmgW5/105.02，即该钢板尺当承压两袋半食盐时，就可能由直线平衡状态，转变为弯曲平衡状态了。这与实际情况差不多。结论：对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判断它的安全承载力，这会出大问题的。需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。1.2压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比在材料力学里，分析杆件的强度、刚度和稳定性是十分重要的课题，它们是材料力学的核心内容。压杆的稳定性分析，与强度和刚度的分析的侧重面不同。在强度和刚度分析中，重点在推导工作量的计算公式，如：轴向拉压杆的拉压应力AFN计算公式，连接的挤压应力jyjyjyAF和剪切应力jjjAF计算公式，扭转的剪应力IT计算公式，梁的正应力yIMZ和剪应力bISFZZQ*计算公式；轴向拉压杆的伸长量EAlFNl计算公式，扭转的扭转角GITl计算公式，梁的挠度ZEIMy和转角dxEIMyZ计算公式等，它们都是杆件的实际或预计的工作量。而在强度条件许用应力工作应力和刚度条件许用应变工作应变表达式不等号大于端的许用值（用方括号括起来的量），如、和l、、y、等，其中，两种许用应力是由材料试验获得，并由各种规范所确认；各种许用变形值的大小，则与结构的功能（性质、用途等）分不开。然而，在稳定性分析中，重点是推导位于稳定表达式crNAF中，位于不等号大于端的许用值cr中的压杆临界应力cr。而压杆的工作应力的求法与轴向拉压杆的完全一样，即仍旧用公式AFN，因为压杆在失稳之前是轴向受压杆。06、基本知识怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）材料力学第3页，共19页而压杆的许用临界应力定义为stcrcrn，式中的压杆临界应力与材料无关，它是实际的、具体的“压杆装置”的函数，对每一根压杆都要单独计算才行。因此，压杆稳定分析的重点是针对各种各样的“压杆装置”，提出几种简化的力学计算模型，然后从理论上推导出它们的临界压力Fcr计算公式，分析计算出临界压力Fcr后，按轴向拉压杆的应力计算公式AFN，用临界压力Fcr代替轴力FN，即可得到压杆的临界应力计算公式AFcrcr。2压杆临界压力Fcr的计算公式2.1压杆稳定的力学模型——弯曲平衡生活和生产的常识告诉我们：压杆在承受的压力比较小时，处于直线平衡状态；当压力逐渐增大到某一值时，压杆会突然变弯，处于微弯曲的平衡状态，称为临界平衡；当压力超过某一值时，压杆会突然变弯折断，退出工作。使压杆处于临界平衡的压力称为临界压力。计算表明，临界压力远远小于按轴向拉压杆计算得出的许用压力。如：一根长300mm，宽20mm，厚1mm的钢板尺，设其材料的许用应力为160Mpa，则按轴向拉压杆强度公式计算，AF，NAF3200160120，即该钢板尺可以安全地承受3200N的压力。然而，常识告诉我们，把钢板尺直立于桌面上，轻轻用手指一压它就会弯曲。这种现象在力学上称为失稳（丧失稳定性），它可用压杆稳定理论予以说明。如果将钢板尺按力学模型：两端铰支的压杆装置，进行压杆稳定计算，可得到丧失稳定的压力为NmmmmMPalEIFcr7.3630067.120000024222，此值接近于钢板尺变弯的实际值。式中的惯性矩43367.11212012mmmmmmbhIz。得到钢板尺丧失稳定的压力为36.7N，仅是按强度计算的安全压力的1/87。差异如此之巨，我们得高度重视。以上的计算结果表明，对于较长的压杆，按强度计算存在极大的风险。事实上，生活常识告诉我们，压杆越长越容易变弯而丧失稳定性，因此，对于较长的压杆，按强度计算是违背事实的，必须另辟蹊径，寻找压杆稳定分析的力学模型。06、基本知识怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）材料力学第4页，共19页究其原因，在强度计算中，钢板尺处于直线平衡状态，属于轴向拉压变形，应该用杆的轴向拉压理论来分析；而压杆稳定分析的研究对象是处于微弯平衡状态，属弯曲变形，显然，应该用梁的理论来分析。下面先谈谈梁的平衡理论，然后，分别就1、两端铰支、2、一端固定一端自由、3、一端固定一端铰支、4、两端固定，这四种压杆力学模型进行力学、数学分析。2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程图2-2-1说明梁的挠曲微分方程的来历和相关量的正负号规定。可一目了然。分析是从梁的dx微段的曲率dxd开始的，其分析推导过程在研究梁的变形的内容中有所表述。在下面的图2-2-2中，四种压杆装置（两端铰支、一端固定一端自由、一端固定一端铰支和两端固定）的力学模型，及其三种状态（稳定平衡、临界平衡和丧失稳定）可一目了然。图2-2-1梁的挠曲微分方程dx梁段弯曲及挠曲线yxMMdθdx注1：正弯矩箭头指向y负。EIxMyydxd2/321yyy平坦曲线2/321按左图得：EIxMy梁的挠曲微分方程注2：正曲率曲线凸向y负。图示为负曲率。06、基本知识怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）材料力学第5页，共19页图2-2-3则是四种压杆模型在临界状态下的支反力种类及其真实方向，亦可一目了然。上述内容对于分析压杆，正确设置压杆两端支反力的方向和转向，导出临界应力公式十分重要，否则，压杆两端支反力的方向和转向设定错误，将无法导出正确的临界力公式。请lFFcr4-1稳定平衡lF=Fcr4-2临界平衡lFFcr4-3丧失稳定模型4两端固定的压杆装置μl=0.5l微弯曲线半个正弦波为μl=0.5llFFcr3-1稳定平衡lF=Fcr3-2临界平衡lFFcr3-3丧失稳定模型3一端固定一端铰支的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=0.7lμl=0.7llFFcr1-1稳定平衡lF=Fcr1-2临界平衡lFFcr1-3丧失稳定模型1两端铰支的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=lμl=l图2-2-2四种典型压杆的力学模型及其三种状态lFFcr2-1稳定平衡lF=Fcr2-2临界平衡lFFcr2-3丧失稳定模型2一端固定一端自由的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=2lμl=2llF=Fcr模型1两端铰支lF=Fcr模型3一端固定一端铰支图2-2-3四种典型压杆微弯平衡支反力及其真实方向模型4两端固定lF=Fcr模型2一端固定一端自由lF=Fcr注1：模型1、2为静定结构注2：模型3、4为超静定结构，其支反力种类由支座形式确定；方向由变形曲线确定：弯矩箭头指向挠曲线的凹侧；剪力可参考悬臂梁受集中力的情况，即剪力指向恰恰与弯矩指向相反。如下图所示：FcrlFcrxyBAlFcrFcrxyδFcrδABlFcryFcrMABAxFQAFQBABxlFcrFcrMBFQAMAFQByFFQAAMA悬臂梁挠曲线与支反力方向关系06、基本知识怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）材料力学第6页，共19页读者好好加深理解。2.3按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力为了确定长l、两端铰支的细长压杆AB临界力，研究图2-3-1。设作用在杆上端的压力恰为临界力F=Fcr，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里研究过，并在2.1节什么它不能够解释钢板尺等压杆突然变弯的现象。），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。2.3.1截面弯矩表达式两端铰支压杆装置：下端固定铰支端有2个约束反力（FNA、FQA），上端链杆支座有1个约束反力（FQB），共3个约束反力未知数（FNA、FQA和FQB），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。故，两端铰支压杆装置是静定结