新课标下直觉思维在数学解题中的应用

1新课标下直觉思维在数学解题中的应用【关键词】直觉思维，预见力，数学【摘要】搞数学或任何别的科学都需要与某种纯逻辑不同的东西，为了表达这种东西，我们没有更好的字眼，只能用直觉一词。在数学活动中，直觉思维与逻辑思维同样重要，但数学活动中直觉思维容易被忽略，这就要求我们在教学过程中引导学生运用直觉思维，培养他们的直觉洞察力，提高学生的预见力，让学生在想象中慢慢领悟，在发现中获得新知识，在成功中感受喜悦。笛卡尔把直觉力作为“数学推理中的非逻辑因素或原理”，一个数学推导在笛卡尔看来就好象一条结论的链，一列相继的步骤序列有效的推导所需要的是在每一步上的直觉力。因为可用的逻辑材料很多，究竟用哪种材料，必须用依靠直觉力进行选择。所以在教学活动中不仅要注意具体的解题技能和解题方法，更应该注意数学知识发生过程中的思想方法，引导学生熟悉解题活动的直觉思维的功能。这是落实新课标中的“培养和发展学生的创新意识和实践能力”的需要。一、预见是解题的开端拿到一个具体的数学题目后，就会产生念头、类比、想象、判断、预见等，这些统称直觉洞察力，在这其中，预见占了核心地位。波利亚曾说；“在解题活动中要设法先预见到解或解的某些特征，或一条通向它的小路，如果这种预见突然闪现在我们面前，我们就把它称为有启发性想法或灵感。我们在教学过程中也常常表现出来：对某一具体问题，老师刚一拿出题目来，学生马上发言：“看出来啦，会了，结论就是这样的。”另外，数学的2最初的概念也多基于直觉，例如：两点确定一条直线，不在同一条直线上的三点确定一个平面。学生的理解只能凭直觉去理解和接受，，是在生活经验中直接或间接获得。“伟大的发现都不是逻辑的法则发现的，而是由猜想得来的”可见直觉的预见在各个领域中的地位和作用是不容忽视的，如何培养学生的预见力是至关重要的。（一）、创设情景教学，培养预见兴趣。数学家华罗庚曾说：“有了兴趣就乐此不彼，好之不倦”，而学生的兴趣又是依赖于传授知识的情景，所以创设良好的情景是非常重要的。在实际教学中多介绍一些科学家的著名预见猜想，如德国数学家歌德巴赫的猜想的来龙去脉，说明预见在发明中的重大作用，形成良好的氛围。成功者的事例，会激励学生的猜想欲望，培养预见兴趣。我们在正常的教学活动中，对于课本中的有关定理及公式证明，先引导学生利用已有的知识去猜想、发现、然后再论证。例如在进行“两平面平行的判定定理”教学时，激励学生类比已学过的“直线与平面平行的判定”，运用直觉思维大胆猜想判定平行的方案，结果学生提出了七种方案，这时老师指出各种方案仅仅是一个“念头或想法”，实践才是检验真理的唯一标准。于是学生争相走上讲台各抒己见，力求证实自己的“念头”是科学的预见，结果虽然只有三种方案是科学的，但是，却使学生兴趣盎然，大大地活跃了课堂气氛。他们不仅获得了由自己的直觉产生的喜悦和成功感，而且他们的预见力在民主的气氛中得到发展，新课标中对学生情感态度和价值观的要求得到很好的体现，创造性思维也得到了较好的发挥。（二）、夯实基础，丰富直觉思维源泉。直觉思维不是无根据的臆想，应是建立在逻辑分析思维的基础和扎实3的数学基础知识、方法和技能的基础上，因此，数学教师在平时的教学过程中，应当教会学生如何利用已有的数学知识，通过对数学问题的观察、比较、分析，迅速而准确地作出直觉判断。例：y=334abba求：4y如果不加思索直接进行平方运算是无效果的，为了有效进行运算，必须先进行直觉判断，直觉力强的同学观察到了已知式中的根号，得到a-3b》0，3b-a》0，即a=3b，问题就迎刃而解了。可见，运用直觉也可以帮助学生纠正解题失误。实际中，学生解题时普遍存在只顾埋头拉车，而不抬头看路，拿到题目就做，做完就了事的现象。经验丰富的老师总会教导学生：拿到题目要多看看多想想。意思就是与已学过的知识联系，这实际上就是让学生尽量在已有知识的基础上发挥直觉预见力的功能。二、在解题过程中如何有效利用直觉在做证明题的过程中，人们看到的全是“因为。。。。。所以。。。。。，”按部就班一步一步推进，看不到直觉思维的存在和作用，这实际上是一个错觉。笛卡尔曾考察过“两种求和之道”-——直觉和推断。他强调直觉力在数学推理中的重要性：“例如，我们想去推断2+2=3+1，那么，我们必须直觉地看到，不仅2+2=4和3+1=4，并且也应看到由这两个命题出发，就可得到所需的结论。”他认为，在数学推理的每一步中直觉力都是必不可少的。大致表现如下：（—）在猜想中证明：估算法解数学题已经越来越引起重视，有些开放题的题设与结论不能够明确，必须从多个角度由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利4于直觉思维能力的培养。目前高考及模拟试题已经充分体现了这一点，因为它更能考察直觉思维的灵活性和创新性。例：在四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝ｃ，DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·ｃ＝ｃ·ｄ＝ｄ·ａ，试确定四边形形状。估算：由ａ·ｂ＝ｂ·ｃ＝ｃ·ｄ＝ｄ·ａ可知，其数量积相等，而数量积又为一实数。若此实数为正，说明四个内角均为钝角，这对四边形来说是不可能的；若此实数为负，说明四个内角均为锐角，这也是不可能的；则只能是其数量积为零，即四个内角均未直角，所以，ＡＢＣＤ为矩形。又根据题设条件的和谐性，猜测a=b=c=d，所以ABCD应为正方形。证明：由条件易知222222220,(),22,,.abcdabcdababcdcdabcdabcd同理得2222.adbc2222,bddb由此得.bd同理得,,.abbccd∴ABCD为菱形。又由a·b=a·d得a·(b-d)=0,而.bd且BC与DA反向，∴b=-d，2()0,0,,,abababABBC即∴ABCD为正方形。由上题可见，既猜想又证明是一个很重要的教学原则，这使类别、归纳、预见更加科学化，更有利于数学的发现，科学技术的发明。所以，我们要从数学方法论的角度将直觉思维有机地渗透到教学中去，培养学生自觉地使用直觉思维，分析和解决实际问题。5（二）借助直觉类比。波利亚说：“类比是一个伟大的领路人。”根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象转移另一个对象，这就是类比，这其中直觉思维在转移中起到了指导作用。类比在科学的发明和发现中有着十分广泛的作用。毫不例外，在数学领域中也有着广泛的应用。数学中的类比着眼于两个数学对象之间的空间形式与数量之间的相似。例：已知数列nb是等差数列，b1=1,b1+b2+……+b10=145。设数列na的通项1log(1)nanab(其中a＞0，且a≠1)记Sn是na的前n项和，试比较Sn与11log3anb的大小，并证明之。分析：通过转化需要证明下列不等式：1111(1)(1)(1)(1)14732n……＞331n对于上述通项13113232kkk是假分数，与课本例题：a,b,m＞0,a＞b,则ab＜ambm进行类比，于是在3132kk＞331kk，这样乘积后还没有达到目标。原因是有的项不能约分，于是再类比一次3132kk＞312313223kkkk，这时，两个分式相乘后发现，右边约分后的项为：12·45·732831nn……·(31)n这时再与特征式子的左边项类比，发现两边再各乘原式左边即可，于是问题得证。略解：234467,,123556389103133125831,,()7893231314732nnnnnnnn……＞234123567313313145632313nnnnnnn……故111(1)(1)(1)1471…（1+（）3n-2＞331n可见，解题活动中的种种念头的产生是解题者直觉感知的结果，在其6过程中，难免会有失败的现象，若是这样，解题者要正确对待，从中查找原因，进行新的类比，使之接近正确的方向，学生的解题技能也得到了很大的提高。（三）把握推理论证中的序。“一个数学证明并不是若干三段论的简单并列，而是众多三段论在确定的序之中的安置。”按照这种观点，在解决数学问题时，只要把握好推理的顺序，整个过程才能井然有条。而这个顺序可以通过直觉洞察力去把握，当然它是指的每一个步骤。例：如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面，又底面ABCD是矩形，E是侧棱PD的中点。EFDCBA求证：平面ACE⊥平面PCD。分析：观察题中条件、结论以及图形的结构特征。借助直觉洞察力推测解决问题的“序”：①证明：AE⊥PD②证明：CD⊥平面PAD③证明：平面ACE⊥平面PCD事实上，这就是有效的程序，简洁而明了。一个优美的解题过程就象一个人一样五官端正，四肢匀称，对于一个解题过程，如凭直觉发现各个部分存在明显的不协调之处则应有优化或简约化的可能。培养学生有效的7把握好序，有助对题目的整体把握以及知识点的联系，为直觉思维的发挥开拓了空间。综上所述，直觉思维在解题中与逻辑推理同等重要，在教学过程中，我们必须屏弃“题型+方法”的教学方式，帮助学生学会数学的思维，训练学生的高度预见力，并在解题过程中有意识、有机制的渗透直觉思维。这样，在提高教学效益的同时，也提高了学生研究数学的兴趣，培养了他们的创造性能力。参考文献：1、波利亚《数学的发现》内蒙古人民出版社19812、刘云章《数学直觉与发现》安徽教育出版社20003、王思俭《中学数学教学》安徽教育出版社1999