第五章-偏微分方程的有限元法

计算物理学[e-mail]1/104第五章偏微分方程的有限元法5.1泛函与变分原理5.2基于变分原理的有限元法5.3matlab有限元法工具箱计算物理学[e-mail]2/104第五章偏微分方程的有限元法有限元法（FEA，FiniteElementAnalysis，FEM）有限元法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题，然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。有限元法将求解域看成是由许多被称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解。有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的数值计算方法。有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。计算物理学[e-mail]3/104第五章偏微分方程的有限元法有限元法---变分原理基于变分原理的有限元法是逼近论、偏微分方程、变分与泛函分析的巧妙结合。基于变分原理的有限元法以变分原理为基础，把所要求解的微分方程定解问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，然后利用剖分插值，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，把离散化的变分问题转化为普通多元函数的极值问题，然后推导求解这个域总的满足条件(边界条件），即最终归结为一组多元的代数方程组，求解代数方程组，就得到待求边值问题的数值解。计算物理学[e-mail]4/104第五章偏微分方程的有限元法有限元法--加权余数法自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。加权余数法的核心思想是：近似解与解析解相比会存在误差R，但是可以通过一个准则使R尽量小，求解这个等式，就可以得到待定常数的值，也就得到了近似解。计算物理学[e-mail]5/104第五章偏微分方程的有限元法有限元法特点1.有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理）。2.优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点：①不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。②不必单独处理第二、三类边界条件。③离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。计算物理学[e-mail]6/1045.1泛函与变分原理数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数，而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即自变量为函数，而不是变量。5.1.1泛函的定义泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的“函数”。设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为y(x)的泛函，记为J[y(x)]。计算物理学[e-mail]7/1045.1泛函与变分原理例5.1.1质点在重力作用下，沿一条光滑的从A点到B点的曲线运动，如图所示。求下落时间最短的曲线。曲线上任一小段线元长度为：ABxyOx0x122222)1(dxdxdydydxdsdxyds)1(2捷线问题计算物理学[e-mail]8/1045.1泛函与变分原理线元处的质点速度为ABxyOx0x1gyv2dxgyyvdsdT212ds线元下落时间为从A点到B点的下落时间为)]([21102xyJdxgyyTxxmin)]([xyJ计算物理学[e-mail]9/1045.1泛函与变分原理5.1.2函数的变分设y(x)是泛函J定义域内任一函数，如果y(x)变化为新函数Y(x)，且Y(x)属于泛函J的定义域，则Y(x)与y(x)之差为函数y(x)的变分。)()(xyxYy变分δy是x的函数，它不同于函数的增量Δy。性质：函数求导与求变分可以交换次序)()()()()(yxyxYxyxYyyyxxyx计算物理学[e-mail]10/1045.1泛函与变分原理5.1.3泛函的变分定义最简泛函10),,()]([xxdxyyxFxyJF(x,y,y’)称为泛函的“核函数”泛函的变分10),,(),,()()(xxdxyyxFyyyyxFyJyyJJ最简泛函:核函数只包含自变量x、未知函数y(x)以及导数y’(x)计算物理学[e-mail]11/1045.1泛函与变分原理利用二元函数的泰勒展开2222222(,,)1(,,)(,,)(,,)1!1(,,)(,,)(,,)22!FxyyyyFxyyFxyyFxyyyyyyFxyyFxyyFxyyyyyyyyyy计算物理学[e-mail]12/1045.1泛函与变分原理其中10222122!yyxxyyyyyyFyFyJdxFyFyyFyJJ1010222122xyyxxyyyyyyxJFyFydxJFyFyyFydx分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。22yyyFFFFyy()()JJyyJy计算物理学[e-mail]13/1045.1泛函与变分原理泛函取极值的必要条件：一阶变分为零0J性质：对于最简泛函，变分运算可以与积分、微分运算交换次序1100(,,)(,,)xxxxJFxyydxFxyydxdyyddxdx计算物理学[e-mail]14/1045.1泛函与变分原理5.1.4泛函的极值问题泛函的一阶变分10()xxFFJyydxyy利用dFdFFyydxydxyydFFydydyyxdxy1泛函的极值问题的间接解法转化为微分方程：欧拉方程0J()yy计算物理学[e-mail]15/1045.1泛函与变分原理11100011000xxxxxxxxxxFdFFJydxydxyydxyyFdFFydxyydxyy对于驻定问题，两边界固定0FdFydxy010xxxxy这就是最简泛函的欧拉方程，等价于泛函取极值的必要条件。把变分问题转化微分方程的定解问题（边值问题）来求解。10()xxFFJyydxyyFdFdFyyydxydxyy计算物理学[e-mail]16/1045.1泛函与变分原理对于例5.1.1求下落时间最短的轨迹0FdFydxy利用最简泛函的欧拉方程。)]([21102xyJdxgyyTxxmin)]([xyJ212yFgy计算物理学[e-mail]17/1045.1泛函与变分原理代入欧拉方程232122yFygy221Fyygyy2322102122yFdFdyydxydxgyygy23221012ydydxyyy212yFgy计算物理学[e-mail]18/1045.1泛函与变分原理变换得到222101dyydxyyy进一步化简得到2101ddxyy积分211yyc计算物理学[e-mail]19/1045.1泛函与变分原理做变量替换cossintyt得22211211sinsin1ytcycty而21112sincos2sin(1cos2)cossincttdtdydxctdtctdttyt计算物理学[e-mail]20/1045.1泛函与变分原理对上式积分得到121(sin2)2xcttc这样就得到了下落时间最短曲线的参数方程12211(sin2)2sinxcttcyct式中常数c1和c2由始末两点位置确定练习：画出经过(0,0)和(1,1)的下落时间最短曲线。连接两个点上凹的唯一一段旋轮线343sin1cosxcttcyct计算物理学[e-mail]21/1045.1泛函与变分原理2泛函的极值问题的直接解法基本做法：瑞利--里兹(Rayleigh-Ritz)法(1)选定一组具有相对完备性的基函数，构造一个线性组合的近似函数(2)将含有n个待定系数的构造函数作为近似的极值函数，代入泛函12,,,nJyxIaaa1niiiiiyaa：基函数：待定系数10),,()]([xxdxyyxFxyJ计算物理学[e-mail]22/1045.1泛函与变分原理0i=1,2,3niIa(3)为了求泛函的极值，按照多元函数取极值的必要条件(4)求解以上方程组，求出就可以得到极值函数的近似解12,,,n