高三数学第一轮复习4.7-解三角形

4.7解三角形第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-2-知识梳理双基自测23411.正弦定理和余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则正弦定理余弦定理内容a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R(R为△ABC外接圆的半径)a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC常见变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCcosA=b2+c2-a22bc;cosB=a2+c2-b22ac;cosC=a2+b2-c22ab第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-3-知识梳理双基自测2341正弦定理余弦定理解决的问题(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-4-知识梳理双基自测23412.三角形中的常见结论(1)在△ABC中,A+B+C=π.(2)在△ABC中,AB⇔ab⇔sinAsinB.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-5-知识梳理双基自测23413.△ABC的面积公式(1)S△ABC=12a·h(h表示a边上的高).(2)S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA=𝑎𝑏𝑐4𝑅.(3)S△ABC=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-6-知识梳理双基自测23414.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的角叫做仰角,目标视线在水平视线的角叫做俯角(如图①).上方下方第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-7-知识梳理双基自测2341(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等.(3)方位角:指从正北方向转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.顺时针第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.()(3)在△ABC中,sinAsinB的充分不必要条件是AB.()(4)在△ABC中,a2+b2c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.()(5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.()答案答案关闭(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-9-知识梳理双基自测234152.在△ABC中,化简bcosC+ccosB的结果为()A.aB.bC.cD.12b答案解析解析关闭由正弦定理,得bcosC+ccosB=2R(sinBcosC+cosBsinC)=2Rsin(B+C)=2RsinA=a.答案解析关闭A第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-10-知识梳理双基自测234153.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cosA=23,则b=()A.√2B.√3C.2D.3答案解析解析关闭由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-4b×23,即3b2-8b-3=0,又b0,解得b=3,故选D.答案解析关闭D第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-11-知识梳理双基自测234154.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为km.答案解析解析关闭如图所示,依题意有AB=15×4=60(km),∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,由正弦定理得60sin45°=𝐵𝑀sin30°,解得BM=30√2(km).答案解析关闭30√2第四章4.7解三角形知识梳理核心考点知识梳理-12-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P10T2)在△ABC中,acosA=bcosB,则这个三角形的形状为.答案解析解析关闭由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.答案解析关闭等腰三角形或直角三角形第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-13-考点1考点2考点3考点4考点1利用正弦定理、余弦定理解三角形例1△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形?𝑎23sin𝐴第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-14-考点1考点2考点3考点4解:(1)由题设得12acsinB=𝑎23sin𝐴,即12csinB=𝑎3sin𝐴.由正弦定理得12sinCsinB=sin𝐴3sin𝐴.故sinBsinC=23.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsinA=𝑎23sin𝐴,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=√33.故△ABC的周长为3+√33.第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-15-考点1考点2考点3考点4解题心得1.已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,可先求出角C及b,再求出c.2.已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再求出角B,C.3.已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.4.已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶可求出c,而通过𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵求角B时,可能有一解或两解或无解的情况.第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-16-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosAD的长.C=-14,3sinA=2sinB,则c=.(2)在△ABC中,角A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D在BC边答案：(1)4解析:由于3sinA=2sinB,根据正弦定理可得3a=2b,又a=2,所以b=3.于是由余弦定理可得c=𝑎2+𝑏2-2𝑎𝑏cos𝐶=22+32-2×2×3×-14=4.第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-17-考点1考点2考点3考点4(2)解设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10.又由正弦定理得sinB=𝑏sin∠𝐵𝐴𝐶𝑎=33√10=√1010,由题设知0Bπ4,所以cosB=1-sin2𝐵=1-110=3√1010.在△ABD中,由正弦定理得AD=𝐴𝐵·sin𝐵sin(π-2𝐵)=6sin𝐵2sin𝐵cos𝐵=3cos𝐵=√10.第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-18-考点1考点2考点3考点4考点2判断三角形的形状例2在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?√3第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-19-考点1考点2考点3考点4解(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC及正弦定理,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,∴cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12,∴A=60°.(2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=√3,得sinB+sin(120°-B)=√3,∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=√3.∴32sinB+√32cosB=√3,第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-20-考点1考点2考点3考点4即sin(B+30°)=1.∵0°B120°,∴30°B+30°150°.∴B+30°=90°,即B=60°.∴A=B=C=60°,∴△ABC为等边三角形.第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-21-考点1考点2考点3考点4解题心得要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.主要有以下两条途径:(1)“角化边”:把已知条件(一般是边的一次式,角的正弦、余弦)转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得到边的对应关系,从而判断三角形形状.(2)“边化角”:把已知条件(边的二次式、两边的积、角的余弦)转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形形状,此时要注意A+B+C=π这个结论.注意:(1)在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,以免漏解.(2)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-22-考点1考点2考点3考点4对点训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=π3,且△ABC的面积S=√3,求a,b的值;(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.因为S=√3,所以12absinC=√3,得ab=4.联立方程组𝑎2+𝑏2-𝑎𝑏=4,𝑎𝑏=4,解得a=2,b=2.第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-23-考点1考点2考点3考点4(2)由题意得sinC+sin(B-A)=sin2A,得到sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,即sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sinAcosA,所以有sinBcosA=sinAcosA,当cosA=0时,A=,△ABC为直角三角形;当cosA≠0时,得sinB=sinA,由正弦定理得a=b,△ABC为等腰三角形.π2第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-24-考点1考点2考点3考点4考点3正弦定理、余弦定理与三角变换的综合问题例3(2018东北三省三校三模)已知函数f(x)=4sinxcosx+sin2x-3cos2x+1.(1)求函数f(x)的对称中心及最小正周期;√3(2)△ABC的外接圆直径为3√3,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若fπ6=23a,且acosB+bsinB=c,求sinB的值.思考在三角形中进行三角变换要注意什么?第四章4.7解三角形知识梳理核心考点核心考点-25-考点1考点2考点3考点4解:(1)f(x)=4√3sinxcosx+sin2x-3cos2x+1=2√3sin2x-(cos2x-sin2x)-(2cos2x-1)=2√3sin2x-2cos2x=4sin2𝑥-π6.令2x-