2014-2015第一学期经管类微积分III期末试卷答案

11、（10分）计算下列极限（1）11limsinnnkknn；（2）22222[]lim(2)xutxedudtx；（3）420sinlim1nnxdxx.解：（1）由定积分的定义得11001112limsinsincos|.nnkkxdxxnn（2）由洛必达法则得22222422222[]1limlimlim.(2)2(2)22xuuxtxxxxedudtedueexx（3）442200sin120limlimsin()arctanlim()014142nnnnnnxdxdxxx.或0411limlim1sinlim0140402nnnnnnndxxdxxx.或利用积分中值公式4220sinsinlimlim0141nnnnnnxdxx,2sin0sinsin0,(0,).144nnnnnnnn2、（20分）计算下列积分（1）2121xIdxx；（2）22cos(21)Ixxdx；（3）2287232ln(1)sincosdIxxxxxx；（4）240|sin3cos|dIxxx解：（1）2222212tantansectansec(sect1)secsec1xtIdxxttdtttdttdttx令32sectdtsecsec(tan)secsectantansecsectdttdttdtttttdttdt所以2211111sectansecsectanln|sectan|1ln|1|2222Itttdtttttcxxxxc.另解：222221222+111=11ln|1|111xxIdxxdxdxxxdxxxxxx厦门大学微积分（III）期末考试试卷2014级经管类试卷（A）考试日期2015.1.212故22212111ln|1|c221xIdxxxxxx.（2）222211cos(21)sin(21)sin(21)sin(21)22Ixxdxxdxxxxxdx2111sin(21)cos(21)cos(21)222xxxxxdx2111sin(21)cos(21)sin(21)224xxxxxc.（3）由于2ln(1)xx为奇函数，22ln(1)xxx也为奇函数，则有2287872223222ln(1)sincosdsindcosdIxxxxxxxxxx872200753164235162sind2cosd2[]2[]8642275325635xxxx.（4）因为13sin3cos2(sincos)2sin()223xxxxx，且它是以2为周期的函数，故222400013|sin3cos|d2|sincos|d2|sin()|d223Ixxxxxxxx3032|sin()|d32|sint|d4sintd83xxxttt.其中利用积分公式0,(,),()()()().aTTaaxfxTfxfxdxfxdx若，则3．（10分）已知()fx具有二阶连续导数，()gx为连续函数，且满足00()()lncos(),lim2xxgxfxxgxtdtx试问：0x是否是()fx的极值点？(0,(0)f是否是曲线()yfx的拐点？请论证说明理由.解：由()gx的连续性和0()lim2xgxx及极限的保号性知，00()(0)lim()lim(2)00xxgxggxxx，且存在0x的某个邻域(,)，使得当0x时,()0gx，当0x时,()0gx，由00()lncos()lncos()xxfxxgxtdtxgtdt，其中00()()xxgxtdtxtugudu知(0)0f，0x是()fx的驻点，且当0x时,0()lncos()0xfxxgtdt3当0x时,0()lncos()0xfxxgtdt，即()fx在0x的邻域内不变号，所以0x不是()fx的极值点。再由0()[lncos()]tan()xfxxgtdtxgx，且(0)0f.当0x时,()0fx，当0x时,()0fx，即()fx在0x的邻域内变号，故(0,(0)f是函数曲线的()yfx的拐点。4、（10分）设()fx是区间[,]ab上单调减少的连续函数，且()0,[,]fxxab，求证：在(,)ab内存在唯一的，使得在区间[,]a上以()yfx为曲边的曲边梯形的面积与在[,]b上以()f为高的矩形面积相等。证明：由题设条件，欲证(,)ab，使得()()()afxdxfb.构造辅助函数()()()(),[]xaFxftdtfxbxxa,b显然()Fx在区间[,]ab上连续，且()()()()()()0aaFaftdtfabafaba，()()()()()0bbaaFbftdtfbbbftdt由闭区间上连续函数的零点定理知，()Fx在区间(,)ab内必有零点，即存在()a,b，使得()()()()0aFfxdxfb，即得()()()afxdxfb.{或利用洛尔定理证.令()()(),[]xaGxxbftdtxa,b，显然()[]Gxa,b在上满足洛尔定理的三个条件，由洛尔定理，存在()a,b，使得()=0,G即()()()afxdxfb.}下面利用()Fx的单调性来证存在的唯一性.对1212,[],xxa,bxx.21212211()()()()()()()()xxaaFxFxftdtfxbxftdtfxbx212211()()()()()xxftdtfxbxfxbx21122121()[()()]()()()0xxftdtfxfxbxfxxx其中上式右端第一、三项为正，第二项非负，故()Fx在[,]ab上严格单调增加，因此是唯一的。5、（10分）判断广义积分+20arctandxxexe的敛散性，若收敛则求出其广义积分值。4解：由于22arctan,(0,)2xxxeexe，因为+201d2xex收敛，由比较判别法知广义积分+20arctandxxexe收敛.222222arctanarctan111arctanddarctand()[]22(1)xxxetdtttxettetttttt22221arctandd1arctan1[][arctan]212tttttcttttt21arctan1[arctan]2xxxxeecee所以+2200arctan1arctan1d[arctan]2xxxxxxeexeeee211arctan1(2arctan11)lim[arctan]22xxxxxeeee11(1)2242.6、（15分）现过点)2,0(作曲线3yx：的切线L.（1）求L的方程；（2）求与L所围平面图形D的面积；（3）求图形D的0x的部分绕x轴旋转一周所得立体的体积.解：（1）设切点为300(,)xx，则有200()3yxx，所以L的方程为320003()yxxxx，将2,0yx代入L的方程，有130x，解得唯一实根01x，故切点为(1,1)，切线方程为32yx.(2)由332yxyx解得121,2xx，故所求D的面积为23127(32)4Sxxdx.(3)所求体积为22320264[(32)()]7Vxxdx.7、（15分）设()fx在[,]ab上连续可微，且函数曲线()yfx在[,]ab上是下凸的（即函数曲线形如型），证明：1()()()()d22baabfafbffxxba.证：先证左边的不等式.由已知条件曲线()yfx在[,]ab上是下凸的，其函数曲线()yfx总在曲线切线的上方。令02abx，则有000()()()(),[,]fxfxfxxxxab，两边从a到b积分，得5000000()d()d()()d()d()()dbbbbbaaaaafxxfxxfxxxxfxxfxxxx0()()()()2abbafxbaf，其中0()d()d02bbaaabxxxxx.即1()d()2baabfxxfba，此即左边的不等式.下面证右边的不等式再由已知条件曲线()yfx在[,]ab上是下凸的，则其函数曲线()yfx总在曲线端点弦连线的下方。则有()()()()(),[,]fbfafxfaxaxabba，两边从a到b积分，得2()()()()()()d()d()d()()2bbbaaafbfafbfabafxxfaxxaxbafababa()[()()]()()()()()22bafbfafbfabafaba即1()()()d()2bafbfafxxba，此即要证的右边的不等式。证毕！8、（10分）某企业将投资800万元生产一种产品，假设在投资的20年中该企业以200万元/年的速度均匀地收回资金，如果按年利率5%的连续复利计算，试计算该项投资收入的现值及投资回收期。解：以题意收益率为200，投资总收益的现值为现值200.050.0510100200=200dt|4000(1)2528.40.05tteee假设回收期为T年，则0.050200dt800Tte，即0.050200|8000.05tTe由此解得20ln0.84.46T年，所以投资回收期为4.46年.