数值分析思考题6

数值分析思考题61、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么？（1）直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。直接法又称为精确法。（2）迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较,具有程序简单,存储量小的优点。2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。迭代公式𝑥(𝑘+1)=𝐵𝑥(𝑘)+𝑔(𝑘=0,1,2,⋯)收敛的充分必要条件是𝑀𝑘→0.假设矩阵M的谱半径ρ(𝐵)，可知𝑀𝑘→0的充分必要条件是ρ(𝐵)1。迭代公式𝑥(𝑘+1)=𝐵𝑥(𝑘)+𝑔(𝑘=0,1,2,⋯)和𝑥(𝑘+1)=B1𝑥(𝑘+1)+𝐵2𝑥(𝑘)+𝑔(𝑘=0,1,2,⋯),收敛。严格对角占优线性方程组Ax=b（其中A∈𝑅𝑚×𝑛，b∈𝑅𝑛）的Jacobi迭代公式𝑥(𝑘+1)=𝐵𝑥(𝑘)+𝑔(𝑘=0,1,2,⋯)，收敛。Gauss-Seidel迭代公式𝑥(𝑘+1)=B1𝑥(𝑘+1)+𝐵2𝑥(𝑘)+𝑔(𝑘=0,1,2,⋯)，收敛。3、详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。（1）不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L1，使得|φ(x)−φ(y)|≤𝐿|𝑥−𝑦|,∀𝑥,𝑦∈[𝑎,𝑏],则收敛于x*。（2）斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数φ(x)在不动点x*的某邻域内具有二阶连续导数，φ′(𝑥∗)=𝐴≠1且𝐴≠0，则二阶收敛，极限是x*。（3）牛顿迭代法：收敛4、举例说明解线性方程组的SOR方法的最佳松弛因子与何种因素有关？解线性方程组的SOR方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。经实验，当谱半径是0.5291时，松弛因子是1.4400。5、指出解非线性方程组的Newton法的主要工作量所在。分别用Newton法和Broyden秩1校正方法求解如下方程组在1,1,1T点附近的根：2123212332312470,10110,1080.xxxxxxxx解非线性方程组的Newton法的主要工作量在于求解f′(𝑥𝑘)。牛顿解：0.90553960985591352219643092016224，1.0852191683700305323160050352309，0.67219366871830539734777606306666Broyden秩1校正方法：0.90553960975591352219643092016224，1.0852191684700305323160050352309，0.67219366871830539734777606306666