数值分析思考题4

数值分析思考题41、Gauss消去法和LU三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工作量为多少？平方根方法的工作量为多少？答：Gauss消去法所需的加，减，乘，除运算的次数为：12321(1)(1)(21)2()2()()223nknnnnnnknknOn由于Gauss消去法与LU三角分解法是等价的，因此，LU三角分解法的工作量也是323n，两者的工作量相同。平方根法是A为实对称正定矩阵时，三角分解法的变形。其工作量约为LU三角分解法的一半，该算法的计算量为𝟏𝟑n32、求解一个线性方程的LU分解法什么条件下可以保障成功？选主元的目的是什么？分别用列主元和全主元Gauss消去法求解下列方程组：615318153312321321321xxxxxxxxx答：（1）条件（三角分解的一个充分条件）：如果nnAR的顺序主子式(1,2,1)kkkARkn均非奇异，则存在唯一的单位下三角阵nnLR和上三角阵nnUR，满足ALU。并且，在三角分解过程中的除法运算要求分母不能太小，否则将可能产生不稳定的情况。（2）.选主元的目的就是为了完成消元并且避免不稳定情况的发生。3、用平方根方法（Cholesky分解法）求解下列方程组，并用紧凑格式存储。103422484548416321xxx答：系数矩阵A=22485416l21=a21/l112242514𝑙32=(𝑎32−𝑙31l𝑙21)/l222232214𝑙33=√𝑎33−𝑙312−𝑙322332214L=332214LT=33-2214b=(−4310)T求解方程Ly=by=(−126)T求解方程组LTx=y求得x=(−9442)T1111la2222221lal4、已知线性方程组122.00021.999841.99982.00024xx（1）求系数矩阵的逆1A和条件数()condA；（2）若方程组右端有微小扰动44210,210Tb，不用求解方程组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。解：（1）得到的结果：系数矩阵的逆11000199998899991000188A,条件数为：10000。（2）线性方程组122.00021.999841.99982.00024xx其解为：1,1Tx若方程组右端有扰动，则原方程变为:'1'22.00021.99984.00021.99982.00023.9998xx，其解为：'1.5,0.5x。'11220000xxbxb即解的相对误差是右端项相对误差的10000倍。