第十一章.动量矩定理(哈工大-理论力学课件)

12§11–1质点和质点系的动量矩§11–2动量矩定理§11–3刚体绕定轴的转动微分方程§11–4刚体对轴的转动惯量§11–5质点系相对于质心的动量矩定理§11–6刚体的平面运动微分方程习题课第十一章动量矩定理质点对于点O的动量矩：质点的动量相对于点O的矩。若质点的质量为m,速度为v，质点相对点O的矢径为r，则一．质点的动量矩vmrvmMO)()()(xyOzvmMvmMOABvmMO2)(OabvmMz2)(§11-1质点和质点系的动量矩质点动量对轴z的动量矩：Mo(mv)yzxmvABOabmvxyγ[Mo(me)]zm4质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系：)()(vmmvmmzzO正负号规定与力对轴矩的规定相同从轴的正向看：顺时针为负逆时针为正动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。5刚体动量矩计算：1．平动刚体)(iiiOvmrL)(CzzvmmL平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。viCOrCvC)(COOvmmL二．质点系的动量矩iiiiiOOvmrvmmL)(zOiizzLvmmL)(质系对点O的动量矩：质系对轴z的动量矩：)(iiivrm)(CiivrmCiivrm)(CCvmr62．定轴转动刚体)(iizzvmmL定轴转动刚体对转轴的动量矩:等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。为刚体对z轴的转动惯量2iizrmJ其中OOJLωOωrimivimiziiivmr2iirmzJ7[例1]231mlJLoO解：ωvClO241222mlllmlmvLCOωO求对O轴的动量矩。8[例2]已知：均质杆的质量为m，均质圆盘的质量为2m，求物体对于O轴的转动惯量和动量矩。盘杆OOOJJJ222221])2(121[mRlRmml解：ωlROmlRmRml22231)231(22mlRmRmlLO93．平面运动刚体CCzzJvmmL)(平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。CvCωxCcCCxxJRmvJvmmL)(注意正负的规定10CvωxCCCxxJmvhJvmmL)(h圆盘：1111222321RRvv32321)232(vRmmmLOOCOBOAOLLLL23322221)(RvmRvmJJOBOA解：滑轮A：m1，R1，R1=2R2，滑轮B：m2，R2，；物体C：m3求系统对O轴的动量矩。[例3]∵∴23322222221211)2(2RvmRvmRmRmC1．质点的动量矩定理)(vmrdtd,Fdtvdm§11-2动量矩定理设质点对定点O的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为MO(F)，如图。)(vmMdtdOdtvmdrvmdtrd)(dtvdmrvmv)(vmMdtdOFrvmv13质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。)()(FMvmMdtdOO,)(,0FMFrvmvO14将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得：)()(),()(),()(FMvmMdtdFMvmMdtdFMvmMdtdzzyyxx上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。15称为质点动量矩守恒定律。则)(vmMO常矢量0)(FMz若常量)(vmMz则若0)(FMO2．质点动量矩守恒定律162)(mllmlvmMO运动分析：OMlv方向,由动量矩定理：)()(FMvmMdtdOOsin)()()(mglgmMTMFMOOO解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。单摆，已知m，l，t=0时=0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。[例4]0sinlg,sin)(2mglmldtd即：l17注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：（1）在质点受有心力的作用时。（2）质点绕某心（轴）转动的问题。摆动周期：glT2微幅摆动时，并令，则,sinlgn202n解微分方程：tBtAnncossintlgcos0则运动方程为：),0,,0(00t代入初始条件：得：A=0，B=018,0)()(iiOFM)()()()()(eiOiiOiiOFMFMvmMdtd共有n个方程，相加后得：)()()()()(eiOiiOiiOFMFMvmMdtd设质点系有n个质点，作用于每个质点的力分为内力和外力，由质点动量矩定理：)(iiF)(eiF)()(eiOOFMLdtdOiiOiiOLdtdvmMdtdvmMdtd)()(3．质点系的动量矩定理19将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。)()(eiOOFMdtLd质点系对固定点的动量矩定理:)()()()()()(eizzeiyyeixxFMdtdLFMdtdLFMdtdL20上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。（1）当时，常矢量。（2）当时，常量。0)(eOM0)(ezMOLzL定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。4．质点系动量矩守恒定律21α解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。rPPrPrPMBABAeO)()(OBAOJrvgPrvgPL)2(,2122PPPgrLrgPJBAOO得代入将由动量矩定理：rPPPPPgrdtdBABA)(])2([22/PPPPPrgdtdBABA已知:。求角加速度。;;rPPPBA[例5]运动分析：v=r如何求支座O的反力？α22OθM[例6]P261卷扬机，鼓轮半径为R，质量m1，转动惯量J，作用力偶M，小车质量m，不计绳重和摩擦，求小车的加速度a。解：运动分析和受力分析ωPnvPrFNP1P2FxFymvRJLORmgMMesin)(RmgMmvRJdtdsin，由,adtdvvR22sinmRJmgRMRa：得23解：系统的动量矩守恒。,0)()(eOFMrvvmrvmABAA)(02vvAA猴与B猴向上的绝对速度是一样的,均为。2v已知：猴子A和猴子B的重量相等，猴B以相对绳子的速度上爬，A猴不动，问当B猴向上爬时，A猴将如何动？运动的速度多大？（轮重不计）v[例7]24对于一个定轴转动刚体:zzJL)()(izzFMJdtd——刚体绕定轴的转动微分方程§11-3刚体绕定轴的转动微分方程代入质点系动量矩定理，有zFnωF2F2FN1FN2)(izzFMdtdJ或)(izzFMJ或)(2izzFMdtdJ25特殊情况：1）若,则角加速度恒量，刚体作匀速转动或保持静止。2）若常量，则α=常量，刚体作匀变速转动。将与比较，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量。0)()()(ezezFmM,0)(ezM)(ezzMJFamzJ解决两类问题：（1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。（2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。26例如lAB27[例8](P265)amgCOφ物理摆，质量m，C为质心，对O点的转动惯量为JO，求微小摆动的周期。解：)(2iOOFMdtdJsin2mgadtdJOsin刚体作微小摆动，mgadtdJO202OJmgadtd或)sintJmga(OO通解为：2mgaJTO周期为：工程中常用上式，通过测定零件的摆动周期，以计算其转动惯量。28提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为r1、r2,可视为均质圆盘;物体C的重量为P3;轮A上作用常力矩M1。求：物体C上升的加速度。取轮B连同物体C为研究对象(2)')21(232232222rPrTvrgPrgPdtd补充运动学条件112222,rarvr化简(1)得：化简(2)得：332'22PTagPPTrMagP1112gPPPPrMa22/321311(1)21111211TrMrgP解:取轮A为研究对象[例9]α2α129[例10]lAkl/3BD均质杆AB长为l，质量为m1,小球质量为m2，弹簧刚度系数k,杆在水平位置保持平衡。初始静止，求给小球一个向下的微小初位移δ0后杆的运动规律和周期。解：运动分析和受力分析。均质杆AB长为l，质量为m1,小球质量为m2，弹簧刚度系数k,杆在水平位置保持平衡。初始静止，求给小球一个向下的微小初位移δ0后杆的运动规律和周期。解：运动分析和受力分析。)(2iAAFMdtdJ222131lmlmJA3)3(232)(02121llskglmlgmlFglmlgmFMiAglmlgmlks21023静止时9)(2lkFMiA[例10解答]m2gφlAkl/3BDm1gFS0（静止时弹簧伸长量）δ=lφ31222221)31(dtdlmlm92lk0)932122mmkdtd)93(sin21tmmkO通解为：0,0,ltO初始条件为：2,0lO解得：)293(sin21tmmklO得：kmmT21932周期：21iinizrmJ单位：kg·m2§11-4刚体对轴的转动惯量物理意义：一、转动惯量表述公式相关因素：各质点质量大小、质量分布刚体转动惯性的度量2dzJrm对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式工程应用：常常根据工作需要来选定转动惯量的大小。二、简单形状物体的转动惯量计算1.均质细直杆对过一端点的轴的转动惯量单位长度质量ldxdml3d320lxxJlllzlml由，得231mlJz2.均质薄圆环对中心轴的转动惯量222mRmRRmJiiz3.均质圆板对中心轴的转动惯量Aiiirrmd22RmA42)d2(402RrrrJARAO221mRJO或4.回转半径（惯性半径）mJzz2zzmJ或对于几何形状相同的均质物体，其回转半径公式相同（物质组成可不同）。回转半径的几何意义：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。三、平行轴定理2mdJJzCz2mdJJzcz由平行轴定理可知，刚体对于诸平行轴，以通过质心的轴的转动惯量为最小。刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即)yx(mJizC2121)yx(mrmJiiz222])dy(x[mi2121iiimdymd)yx(m212121201iiCmymy证明：因为2mdJJzCz01ymi有，得231mlJz要求记住几个转动惯量12222ml)l(mJJz