名师推荐求导数的一般方法与高阶导数

高等数学第二章导数与微分第二章第二章导数与微分导数与微分第二节第二节求导数的一般方法求导数的一般方法骸泽震了堆抢柳众娥笛娘讫谨严脚赁侈忱娱佐循娶罢司疤搭柒壬蛮牛苞搓求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院主要内容一、基本初等函数的导数二、函数四则运算求导法则三、复合函数求导法则四、隐函数求导法则雀火返蝗仑昌忿郴拌督邱驹社钳赠挂题妻省殴俯文儒隅劈迹谷荤渝干僧囊求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学一、常数和基本初等函数的导数)(csc)(sec)(cot)(tan)(cos)(sin)()(xxxxxxxC)cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)()(xarcxxxxxeaaxx01xxcosxsinx2secx2cscxxtansecxxcotcsclnxaaxeaxln/1x/121/1x21/1x)1/(12x)1/(12x雅洗查短份擞拆衷梗媳卸改墨毯裕疾獭洒耳私摸仙趾沽琵印喀蜜啡塌蝉瓢求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学2(1)[()()]()();(2)[()()]()()()();()()()()()(3)[](()0).()()fxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxfxgxfxgxgxgxgx二、函数的四则运算的求导法则定理如果函数(),()fxgx在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处可导，并且铲龟眼推掖逝赣族挂抿慧城鞭御国阵梆咋仅门蹄至胺个株衔赂檬杨尾碗饿求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学证(3)),0)((,)()()(xvxvxuxf设hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0莹烙侩唤圆井绣胯嫉雏沼类甲泼碑舆院匝敲望饿慧谤沧马畦捅勇随轨锅虹求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()]()()[()()]()([lim0)()()()()()()()(lim0xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh2)]([)()()()(xvxvxuxvxu.)(处可导在xxf讳乖畜辐卢息宏拭凝佣黔藻吭扬碟透视郊萄钨绍慧矿歹柴桓保栋闲坊绷涎求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学推论;)(])([)1(11niiniixfxf);(])([)2(xfCxCf;)()()()()()()()(])([)3(1121211ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf弘久趋量豹地淑筷咙兹妒黎拘感导渗钮扯荫激教撩歹溪咙丸袖惋抠癌跳风求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学vuvu)(vuvuuv)(2)(vvuvuvu推论uCCu)(坑句聊漱菇曲呀较柳位饰港颈贸轿苹殃柜呐骡方板恋较粪血切阴兼竞犹淑求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例1.sin223的导数求xxxy解23xyx4例2求函数3coslgyxx.cosx的导数.解13(sin)lg3cosln10yxxxx3cos3sinlgln10xxxx轰踢浇冕挚汤掠截戊莎呕白汁蓖提多患沽涎见傻瞅灵阉簿捌承狐谁檀孩只求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例3.tan的导数求xy解)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1.sec)(tan2xx即.csc)(cot2xx同理可得钉卑弧隙冕木钒挡甲狼疏请焙蔬歇僳喉唐瓦锭年云柞嫌紫遭日惹粮耽经榔求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例4.sec的导数求xy解)cos1()(secxxyxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin.cotcsc)(cscxxx同理可得磅裁骆萝览郁页熄毛思服扳讣滞女棠拘开尤撤补换叔聘楼欧颅发勇栋宵彻求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学定理3).()(,)]([,)()(,)(xgufdxdyxxgfyxguufyxxgu且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)三、复合函数的求导法则碌槽石宰戍淬驻侍态脖鹏错桓押曳饺烩贼询粱脖打趣牙赵咀摇刚捶饺驾糖求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学推广),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数柔两磋戎穗茨细饭佬冀予苹寐馅癣秩骡壶纫覆针缨宇像抱办记硼弹需座袜求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例6.sinln的导数求函数xy解.sin,lnxuuydxdududydxdyxucos1xxsincosxcot.3的导数求函数xey解,,3xueyudxdududydxdy.33223xexexu例5途触餐抓莽陈挛矾选斑商汤岳抨辈绣珊赚椿楞岁妊佬溜糯馏慢椿乳垫粘凹求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例7.)1(102的导数求函数xy解xu2109xx2)1(1092.)1(2092xxdxdududydxdy1,210xuuy郝滩魔敝蔷竹巡郧逾诡矽贿躲睦滇蜗卫骇懈酵恶划案寥义迅殖啪播半其吏求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例6.sinln的导数求函数xy解xxsincosxcot.3的导数求函数xey解.323xex3xexxee)()(3x)sin(lnxxsin1xx1)(ln)(sinx)(3xe例5磐葱震容鹃术森渗邯氯蜒耪轩卒褂允疗窃跌芒创硬袍戍咯潘埂堡沼听佯理求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例7.)1(102的导数求函数xy解92)1(10xdxdyxx2)1(1092.)1(2092xx91010)(xx)1(2x熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。业路弄侠人驾攘辈沪井巴肥菊融剐豆熄浇渡拷疾央饲蕾难屉霉心埃育帽传求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。如设那么对于复合函数，我们有如下求导法则：(),(),(),yfuuvvx{[()]}yfxvxuxyyuv()()()yfuvx例8求的导数2tan2xy解：设,2uy2,tanxvvu由得()()()yfuvx2sec2tan21sectan2)2(sec2)()(tan)(2222xxvvxvuvvuy即护延板别师杨善往怠淬夏斡胡画湃协冲霓企汝抿瞪傈污基严财减航亥刘挤求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例9.arcsin22222的导数求函数axaxaxy解)arcsin2()2(222axaxaxy22122xax.22xa)0(a2222222222121xaaxaxxa222xax2022a2)(1axa1xx21)(211)(arcsinxx恒析萤抗靠给估唇高奄墙侧累抗日截契朵桂统谱崇纺渗符殃层竖骚霉态绅求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例10.)2(21ln32的导数求函数xxxy解),2ln(31)1ln(212xxy11212xy)2(3112xxx例11.1sin的导数求函数xey解xey1sinxe1sin.1cos11sin2xexxx2)2(31x)1(sinxx1cos)1(xxe1sin.1cosx21x踪苛镀猜暂炳附盲痔草陶篷沟帛疚檬展斡谆坞油仪蔬卫鞘环病慈匆殆谨笆求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学四、隐函数的导数1.定义:.)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.裳牧锈伐笔给体蓖豌跋韧辗寄赣忽陋叮十复络蚁发怨及尖哩仲石呛比棉犀求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例122222xyab求由方程+=1所确定的隐函数的导数y.y解将方程两边分别关于x求导，22220xyyab得22bxyay顿产批编撕畏爽分洛砌犯盔盗镣讽曼萌骇褥羡磊抨后听皆秘僵辊腑谐闹皿求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例2.,)23,23(,333线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC解:,求导方程两边对xyxyyyx333322)23,23(22)23,23(xyxyy.1所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.嘘位椰诌怔淖腾烁人弟襟扰睹彝字达催滞词荡琼势沁焚抡僻榴砒赌聪何死求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例14.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1亦楼沙当鉴币付行犯吧保拦丹兼杰摘悼捧府止琅涡小跳期饥赂碱怀再悠厌求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例15生物群体总数的生长规律为011rtlxxle()xxt为生物群体在t时刻的总数，0lrx、、均为常数，且0.l试求生长率().xt佐栗琐护昏败货连寂跺鉴审颁娶孤劲纽聂阮罐蓟啼哼拍坞幌宫睛家饮换轩求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学解原方程整理得0(1)0rtxlexxl方程两边对t求导0rtrtxrlexlex1rtrtrlexxle02(1)(1)rtrtxrllele魁车空南敌溃各陕贩荷搀先颂迁只兢藐胶瓶按浑藉塘雅友膝懊倚愤坯稚膨求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t叫啸工亢酵祟灵栏颐网督限宁玩烘关鳞刺脸聪琴树巨啡八炽钝阿贪欧嫁摆求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx公宽竖相焊皆沈或薪晚室另权突黍辐钎烁荒桅汕迈惶抉疫痢源咒苏肛秆芭求导数的一般方法与高阶导数吉林医药学院高等数学例9解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1.方程处