结构力学-第8章-渐近法及其它算法简述概要

基本要求：熟练掌握用力矩分配法计算连续梁与无侧移刚架；了解无剪力分配法计算符合条件的有侧移刚架；了解近似法计算多层多跨刚架的基本假定及步骤；了解连续梁线。教学内容：﹡力矩分配法的概念﹡多结点力矩分配法﹡无剪力分配法﹡近似法﹡连续梁的影响线第8章渐近法及其它算法简述§8.1力矩分配法的基本概念理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；适用范围：连续梁和无侧移刚架。一、基本概念1.转动刚度SAB：使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0ABBABAABSAB与杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。SAB=4i12.传递系数CAB：远端弯矩与近端弯矩的比值。4i——近端弯矩其中：2i——远端弯矩传递系数：2142ABiCi远端弯矩近端弯矩ABMAB=4iMBA=2iABMAB=3iMBA=0传递系数：003ABCi远端弯矩近端弯矩MAB=iMBA=-iAB传递系数：1ABiCi远端弯矩近端弯矩1M234EIEIEILLL分配系数计算公式的推导用位移法求解该结构。未知量：1杆端弯矩：14112113134MiMiMi建立方程：10M121314MMMM1(34)iiiM……①MM12M14M133.分配系数：某杆的转动刚度与该结点所有杆件转动刚度之和的比值。1M234EIEIEILLL每个杆端的转动刚度围绕“1”结点每个杆端的转动刚度之和分母是围绕“1”结点每个杆端的转动刚度之和分子是每个杆端的转动刚度解方程，得：1348MMiiii回代，得：143388iMMMi12188iMMMi134488iMMMi1M234EIEIEILLL12131413484434833348iiiiiiiiiiii●求各杆的分配系数计算公式：ijijijiSS显然1iji●求近端弯矩M=分配系数×结点力矩●求远端弯矩M=传递系数×近端弯矩121314184838MMMMMM21314118280MMMMM二、单结点的力矩分配mkN180812102FBAM例1.用力矩分配法计算图示连续梁。由∑MB=0求得附加刚臂中的约束力矩：解：(1)先在结点B加一附加刚臂(图(b))使结点B不能转动，此步骤常称为“固定结点”。此时各杆端产生的固端弯矩：mkN100mkN10088100FCBFBCMMMFB=180-100=80kN.m(2)为了消除约束力矩MFB，应在结点B处加入一个与它大小相等方向相反的力矩MB=-MFB(图(c))，在约束力矩被消除的过程中，结点B即逐渐转动到无附加约束时的自然位置，故此步骤常简称为“放松结点”。将图(b)和图(c)相叠加就得到图(a)中的结果。对于图(c)SBA=3iBA=3×2EI/12=EI/2SBC=4iBC=4×EI/8=EI/2μBA=SBA/(SBA+SBC)=0.5μBC=SBC/(SBA+SBC)=0.5(3)最后将各杆端的固端弯矩(图(b))与分配弯矩、传递弯矩(图(c))相加，即得各杆端的最后弯矩值。三、计算步骤1.在刚结点上增加阻止转动的附加刚臂，把连续梁分解为具有固定端的单跨梁；2.计算结点处各杆件的弯矩分配系数；3.计算各杆的固端弯矩和结点处附加刚臂中的约束力矩；4.把结点处的约束力矩取反加在结点处，计算分配弯矩与传递弯矩；5.计算实际的各杆端弯矩。近端弯矩=故端弯矩+分配弯矩远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩例2.用力矩分配法计算图示刚架,画M图。解：1）求分配系数μ2）计算固端弯矩mkN50FBAMmkN80FADMmkN45158050MMMMMFACFADFABA9421131414ABmkN5084100FABMABCD2m3m2m4mi=1i=1i=240kN/m100kN15kN.mM=15MAFABMFADMFACM92AC3193AD结点BACD杆端分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递20固端弯矩-5050-80101510-10最后弯矩-4070-6510-10M图（kN.m)40701001080ABCD4547.565例3.用力矩分配法作图(a)所示封闭框架的弯矩图。已知各杆EI等于常数。解：(1)计算固端弯矩mkNqlMFA5.73121mkNqlMFA75.36121(2)计算分配系数4.01111CAAASSS6.01111CACCSSS分配系数：322/311EIEIiSAAEIEIiSCC111转动刚度：(3)(4)作弯矩图。一、原理与方法（轮流放松、逐次分配）§8.2多结点力矩分配法多结点力矩分配法的思路是，首先把所有结点锁住，然后依次逐个放松结点，使结构处于“单结点”状态，再使用力矩分配法消去结点上的不平衡力矩，如此反复进行，使结点不平衡力矩逐渐减小，直至可以忽略，因此，它是一种渐近法。二、计算步骤1.计算各结点的分配系数；2.将所有中间结点固定，计算各杆固端弯矩；3.将各结点轮流放松，分配与传递各结点的不平衡力矩，直到传递弯矩小到可忽略为止；4.把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的固端弯矩相加，即为各杆端的最后弯矩。例1.用力矩分配法计算图示连续梁。0.430.570.50.54.0-2.00.00.00.00.0-4.00.861.140.570.700.940.47-3.29-1.65-3.28-1.64-0.12-0.23-0.24-0.120.070.05-1.770.39-3.52-2.48-0.39-4.04.0分配系数固端弯矩分配与传递最终弯矩iii4m4m2m2m2m6kN.m2kN2kN/mMF=-ql2/8+M/2=-4+2=-2kN·m结点B：SBA=3iBA=3×4EI/2=6EISBC=4iBC=4×9EI/3=12EIμBA=SBA/(SBA+SBC)=1/3μBC=SBC/(SBA+SBC)=2/3例2.试用力矩分配法作图(a)所示解：(1)计算分配系数结点C：SCB=SBC=12EISCD=4iCD=4×4EI/2=8EIμCB=SCB/(SCB+SCD)=3/5μCD=2/5(2)MFBA=3Pl/16=18.75kN·mMFBC=-ql2/12=-15kN·mMFCB=ql2/12=15kN·m例5.利用对称性求图示刚架的弯矩图。解：（1）利用对称性取半边结构进行计算EIEIiSAGAG345.12EIEIiSACAC343445.0ACAGEIEIiSCACA34344EIEIiSCECE34344EIEIiSCHCH325.14.0CECA2.0CH（2）计算分配系数结点C：mkNqlMFAG1532mkNqlMFGA5.762（3）计算固端弯矩（4）进行力矩分配与传递（5）利用对称性绘制弯矩图例6.图示等截面连续梁，EI=36000kN.m2,在荷载作用下，要使梁中间跨的最大正弯矩和支座负弯矩绝对值相等，B、C支座应升降多少？解：（1）利用对称取半边结构计算（2）设B、C下沉位移为△6m8m6m18kN/m4m6m300081382liqlMFBAmkNqlMFBE9632323130008196482000101000510005100091100091100053mkNqlMFEB48622633EIEIiSBABA4EIiSBEBE32BA31BE100091BM100053EMmMMEB019.0（3）用力矩分配法求解①求固端弯矩分配系数固端弯矩分配与传递最后弯矩②求分配系数③进行力矩分配与传递，求最后弯矩小结1）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算（放松）。2）支座沉降而非载荷因素问题时，将其视为“广义载荷”求固端弯矩（可根据转角位移方程或单跨超静定梁的杆端内力表求得）。3）对于对称结构，可取半边结构简化计算。一、应用条件§8.3无剪力分配法无剪力分配法——用来求解某些特殊的有侧移刚架（有侧移杆件均为剪力静定杆），是力矩分配法的特殊形式。刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，有侧移杆件均为剪力静定杆。力矩分配法——求解连续梁和无侧移刚架的渐近法；无侧移杆件：杆件两端没有相对线位移（即没有垂直杆轴的相对位移）的杆件；剪力静定杆：杆件两端虽有侧移，但剪力是静定的，即可根据静力平衡条件直接求出剪力的杆件。ABB’CC’A’（a）原结构2FP2FP（b）正对称FPFPFPFP=+可取半刚架计算。（d）半刚架FPFP分解为正、反对称问题弯矩等于零，不必计算FPFPFPFP（c）反对称有侧移的柱剪力是静定的，可用无剪力分配法计算。取例：FPFPFPADCB（a）ADCBFP2FP3FP（b）无剪力分配法可以解只有一根竖柱的刚架，且横梁端部的链杆应与柱平行的问题。也可以推广到单跨多层对称刚架等问题。对图示有侧移刚架，则不能直接应用无剪力分配法。因竖柱AB、CD既不是两端无线位移杆件，也不是剪力静定杆件，不符合无剪力分配法的应用条件。ABDCEFP例1.已知EI=常数，用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。ilEIiSBCBC333ilEISBA25.0BA75.0BC62qlMFBA32qlMFAB2163163qlPlMFBC解：（1）求力矩分配系数（2）求固端弯矩（3）力矩分配与传递，绘制弯矩图。0.250.7562ql1632ql192172ql192512ql6452ql6452ql32ql192172ql64272ql2645ql26427ql212837ql§8.5近似法●分层法——计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩●反弯点法——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩（ib/ic≥3）●D值法——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩（ib/ic＜3）刚架在竖向荷载作用下，为简化计算作如下假设：1）结点的位移主要是转角，侧移很小可忽略不计；2）作用在本层梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影响，对其它层杆件的影响很小可忽略不计。一、分层法在上述假设前提下，把多层刚架分解成一层一层单独计算，然后把每层弯矩图叠加。ABCDEFGHIJKLq根据以上假设，计算可作如下简化：1）计算方法：由于刚架的侧移被忽略，因此可以用力矩分配法计算。2）计算简图：由于荷载只对本层梁及上下柱有影响，因此计算简图只需取相关部分即可。例：ABCGHIDEFq取1718q1920qqq13141516910111256781234例：++++q取q56781234q5678123491011125678910111213141516101112181920141516q917132）计算分配系数时，除底层柱以外其余各层柱的线刚度要乘折减系数0.9，传递系数取1/3。一层柱子的线刚度不需折减，传递系数取1/2。1）按上述4个计算简图，分别用力矩分配法进行计算3）对4个计算结果进行叠加，主要是一层以上柱端内力应是两部分之和。4）柱子弯矩由于叠加后，在结点处就不平衡了，这就需要在结点处再进行一次分配，称为“弯矩调幅”，但不需再传递。计算时要注意以下问题：551015131266351113110以“1”结点为例：计算简图1，力矩分配法的计算结果。两者叠加后“1”结点的结果。计算简图2，力矩分配法的计算结果。“1”结点的一次分配结果。10.40.6103-1.211.8-10-1.8-11.8二、反弯点法刚架在水平荷载作用下弯矩计算的近似方法。刚架在水平荷载作用下弯矩图有以下的特点：1）弯矩图全是直