第二章-基本初等函数(题型完美版)

文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第1页共19页高中数学必修（1）资料第二章基本初等函数本章承袭第一章，包含三类基本函数，在学习过程中，会用到第一章所学的函数的性质。本章所包含的三类函数，定义域又有了新的限制条件，图像也各有不同，在解题过程中，同学们一定要习惯去画图。第一部分指数函数1．根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正负两个n次方根可以合写为±na(a＞0)．③nan＝a.④当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝a－＜.⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝a·a·…(n∈N*)；②零指数幂：a0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：a-p＝1ap(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：amn＝nam(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；⑤负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第2页共19页【注】若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用3．指数函数的图象与性质y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)x＜0时，0＜y＜1x＜0时，y＞1.在(－∞，＋∞)上是减函数当x＞0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1；在(－∞，＋∞)上是增函数【注1】当底数没有确定又涉及函数的单调性问题时，要对指数函数和对数函数的底10a或1a进行讨论。【注2】第一象限中,指数函数底数与图象的关系【分析考向】考向一：指数式与根式运算问题指数幂的化简与求值的原则及结果要求1．化简原则(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序．文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第3页共19页2．结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂.专题一指数与指数幂的运算[例1]（1）2)10(（2）44)3(（3）2)(ba[例2]已知0a，将aaa化为分数指数幂的形式为________.[例3]化简下列各式：（1）)31()3(656131212132bababa，其中0a，0b.（2）)3)(2(32213141yxyx（3）5354215658)(baba[例4]计算347625223.文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第4页共19页巩固练习：1.有下列四个命题：其中正确的个数是（）①正数的偶次方根是一个正数；②②正数的奇次方根是一个正数；⑤负数的偶次方根是一个负数；④④负数的奇次方根是一个负数。A.0B.1C.2D.32.给出下列4个等式：①aa2；②aa2)(；③aa33；④aa33)(。其中不一定正确的是（）A.①B.②C.③D.④3.化简)21)(21)(21)(21)(21(214181161321，结果是（）A.1321)21(2121B.1321)21(C.32121D.)21(213214.（1）35212的平方根是.（2）526743642=_________.5.若x满足5)31(44x,则x的值为.6.334433)2()4()2(.7.化简下列各式（其中各字母均为正数）．（1）21332121231)4()3(65bababa（2）340318)54(064.0（2）3438583213124434181)27()16()3(zyxyxzyx（4）1120322564()0.1()(3)927文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第5页共19页专题二比较大小[例1]已知3153a，2153b，2134c，则a,b,c三个数的大小关系是（）A.bacB.abcC.cbaD.cab[例2]比较0.7a与0.8a的大小．[例3]比较221xa与22xa（0a，且1a）的大小．巩固练习：1.已知ab,ab0下列不等式（1）a2b2,(2)2a2b,(3)ba11,(4)a31b31,(5)(31)a(31)b中恒成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.若103aa，则a的取值范围为_________．3.设5.014y，48.028y，5.13)21(y，则（）A.213yyyB.312yyyC.321yyyD.231yyy4.比较1.04.1与3.09.0的大小.5.122、133、166这三个数的大小关系为（）A.166133122B.166113223C.122133166D.133122166文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第6页共19页专题三指数式的化简求值[例1]已知33,a求322123(3)9ababab的值。[例2]已知12,27xyxy，且xy。求11221122xyxy的值。[例3]已知32121aa，求下列各式的值。（1）1aa（2）22aa（3）21212323aaaa巩固练习：1.已知221xa，求33xxxxaaaa的值。文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第7页共19页2.已知32121xx，求23222323xxxx的值．3.已知333czbyax，且1111zyx，求证：31313131222)(cbaczbyax.专题四指数函数类型一指数函数的定义1.下列函数中指数函数的个数是（）①xy32；②13xy；③xy3；④3xyA.0个B.1个C.2个D.3个2.2(33)xyaaa是指数函数，则a的值为.类型二指数函数过定点问题1.指数函数xay)10(aa且恒过点______.2.指数函数()fx的图象过点)9,2(,则(2)f______.3.函数5()26xfx恒过定点.文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第8页共19页类型三指数函数的单调性[例1]讨论函数xxf322)(的单调性，并求其值域。[例2]讨论函数xxxf22)31()(的单调性，并求其值域。[例3]讨论函数2)21()41(1xxy的单调性。[例4]若函数221(0xxyaaa且1)a在[11]x上的最大值为14,求a的值.巩固练习：1.求下列函数的单调性：（1）1212xxy（2）xxy422文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第9页共19页（3）1329xxy（4）xy3)31(2.已知21x，求函数xxxf9323)(1的最大值和最小值。3.已知]2,3[x，求12141)(xxxf的最小值与最大值。类型四利用单调性解不等式[例1]不等式622xx1的解集是.[例2]设01a，解关于x的不等式22232223xxxxaa.巩固练习：1.已知2)41(22xxx，求函数xy)21(的值域．文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第10页共19页2.设有两个函数13212xxay与5222xxay，要使21yy，求a、x的取值范围．类型五利用指数函数解方程1.解方程012242xx.2.若4)25.0(5x，则x的值是_____.3.满足91312x的x的值的集合是__________．类型六指数型函数的奇偶性[例1]已知0a且1a，2111)(xaxf，则)(xf是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．奇偶性与a有关[例2]已知函数)(xfy是奇函数，则当0x时，13)(xxf，求当0x时()yfx的解析式。巩固练习：1.若函数axfx121)(是奇函数，求a的值．文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第11页共19页2.已知)(xfy是定义在R上的奇函数,且0x时，xxf21)(，求函数的解析式并画出其图像。3.设a是实数)(122)(Rxaxfx，（1）试证明：对于任意a，)(xf在R上位增函数（2）试确定a的值，使)(xf为奇函数。类型七指数函数综合题型1.设244)(xxxf，求：（1）)1()(afaf的值；（2）)10011000()10013()10012()10011(f贩?fff的值．2.已知函数)1(11)(aaaxfxx，（1）判断)(xf奇偶性，（2）求函数)(xf的值域，（3）证明)(xf是区间),(上的增函数.文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第12页共19页3.已知函数.)21121()(3xxfx（1）求)(xf的定义域；（2）讨论)(xf的奇偶性；4.已知xxxxxf10101010)(，求：（1）判断函数奇偶性；（2）判断f（x）的单调性。5.某合资企业1994年的产值达2万美元，1999年的产值达64万美元，求平均每年增长的百分率是多少?文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第13页共19页第二部分对数函数一、对数的概念一般地，如果1,0aaa的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做以a为底N的对数，记作bNalog，a叫做对数的底数，N叫做真数奎屯王新敞新疆二、对数的运算性质1.log()loglogaaaMNMN；2.NMNMaaalogloglog；3.loglog()naaMnMnR；4.换底公式：logloglogmamNNa(a0,a1；0,1mm).5.两个常用的推论：（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为1）．6.常用的结论：（1）01loga，（2）1logaa.（3）对数恒等式:如果把Nab中的b写成Nalog,则有NaNalog.三、常用对数1.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数奎屯王新敞新疆为了简便,N的常用对数N10log简记作lgN奎屯王新敞新疆例如：5log10简记作lg5;5.3log10简记作lg3.5.2.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数Nelog简记作lnN奎屯王新敞新疆四、对数函数1.对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数，定义域为),0(．2.对数函数的图像文思泉涌智者先行文智教育集团全力以赴只做最好的教育第14页共19页通过列表、描点、连线作xy2log与xy21log的图象：总结：根据图像可知xy2log与xy21log的图象是关于x轴对称。3.在同一坐标系中画出下列对数函数的图象。（1）xy2log（2）xy21log（3）xy3log（4）xy31log3.对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．a＞10＜a＜1图象32.521