5.1-第五章-角的概念推广

5.1角的概念推广第5章三角函数授课教师：游彦复习回顾1、在初中角是如何定义的？定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。【5.1.1任意角的概念】顶点边边AOB复习回顾2、角的范围是：【5.1.1任意角的概念】0º~360º3、角的分类：锐角：直角：钝角：平角：周角：(0º,90º)90º(90º,180º)180°360°初中阶段我们学习了0º~360º范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角，如：【5.1.1任意角的概念】创设情景兴趣导入1、在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体720º”、“向内转体1080º”这样的解说。2、再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘、游乐场的摩天轮等。它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0º~360º范围内的角。因此，仅有0º~360º范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广。问题游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？创设情景兴趣导入5.1.1任意角的概念问题用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．创设情景兴趣导入动画演示角的推广归纳通过上面的两个实例，发现仅用0°-360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．创设情景兴趣导入角的推广动脑思考探索新知一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．【5.1.1任意角的概念】动脑思考明确新知高中阶段对角的定义：角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。“旋转”形成角α始边顶点角的内部角的推广动脑思考探索新知按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；当射线没有作任何旋转时，所形成的角叫做零角．用角的顶点与边的字母表示角∠AOB或∠O用小写希腊字母α、β、γ、……来表示角.类型表示【5.1.1任意角的概念】角的分类：任意角正角：逆时针方向旋转负角：顺时针方向旋转零角：没有旋转度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到任意大小。动脑思考明确新知始边顶点+-00角的推广动脑思考探索新知将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的非负半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.终边在坐标轴上的角叫做界限角.自己作图表示一下吧．思考：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系里面讨论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么对于任意一个角，角的终边可能落在哪些位置？xoyIIIIIIIVxyO角是第一象限角角是第三象限角IIII角不是象限角动脑思考明确新知象限角知识巩固处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。注意：第2象限第1象限运用知识强化练习练1：在直角坐标系中，下列各角分别是第几象限的角？30°–100°-390°120°390°330°第3象限第4象限√运用知识强化练习1、第四象限角一定是负角。（）2、锐角是第一象限的角。（）3、第一象限的角都是锐角。（）4、第二象限角一定比第一象限角大。（）5、小于90º的角都是锐角。（）××××练2：判断正误归纳小结任意角正角：逆时针方向旋转负角：顺时针方向旋转零角：没有旋转象限角：非象限角：处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角。终边落在坐标轴上的角运用知识强化练习动画演示练习5.1.1在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：⑴60°；⑵－210°；⑶225°；⑷－300°.问题引导动手探究用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．试验5.1.2终边相同的角问题引导动手探究在直角坐标系中作出390°、－330°和30°角，这三个角的终边有何关系？动画演示在同一坐标系中作出30,390,330,并说出它们是第几象限的角.xyO问题1：30,390,330角的终边有什么关系？终边位置相同问题引导动手探究与30°角终边相同的角还有哪些？390°=30°+1×360°-330°=30°+（-1）×360°它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角．390°、－330°与30°角之差都是360°角的整数倍数，（1）与30°角终边相同的角还有：750°=30°+2×360°-690°=30°+（-2）×360°1110°=30°+3×360°-1050=30°+（-3）×360°•（2）填空完成下列等式，并写出与角终边相同的角的集合。•30°=30°+（）×360°•390°=30°+（）×360°•-330°=30°+（）×360°•-690°=30°+（）×360°•你能写出与30°角终边相同的集合吗•那么与角终边相同的集合呢？角的推广动脑思考探索新知一般的，与角α终边相同的角（包括角α在内），都可以表示为α+k·360°(k∈Z)的形式．与角α终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为{360,}SkkZ动画演示角的推广巩固知识典型例题例1写出与下列各角终边相同的角的集合S,并写出S中在-360°～720°范围内的角：⑴60°；⑵－114°．{360,}SkkZ集合选取k，使得角在要求范围内.例1写出与下列各角终边相同的角的集合S,并写出S中在-360°～720°范围内的角：⑴60°；⑵－114°26′．先写出与已知角终边相同的角的集合，再选取k，使得角在指定范围内.解(1)与角终边相同的角的集合:60|36060,ZSkk(1)36060300，当k=-1时，03606060，当k=0时，136060420；当k=1时，所以在范围内与角终边相同的角有~36072060300,60,420.软件演示例1写出与下列各角终边相同的角的集合S,并写出S中在-360°～720°范围内的角：⑴60°；⑵－114°26′．解(2)与角终边相同的角的集合:11426|36011426,ZSkk23601142660534，当k=2时，03601142611426，当k=0时，13601142624534；当k=1时，11426,24534,60534.软件演示所以在范围内与角终边相同的角有~36072011426角的推广巩固知识典型例题例2写出终边在y轴上的角的集合．解终边在y轴上的角的集合是S｛︱18090,nnZ｝．当n取偶数时，角的终边在y轴非负半轴上；当n取奇数时，角的终边在y轴非正半轴上．例2写出终边在y轴上的角的集合．解:y轴负半轴:y轴正半轴:y轴:kk3600|,9Zkk36070,Z2|kn1800|,9ZOxy90270当n取奇数时，角的终边在y轴的负半轴上。当n取偶数时，角的终边在y轴的正半轴上，1.判断正误，如果错，请说明理由.（每题5分）（1）终边相同的角一定相等．（）()36045Zkk（2）角与45角的终边相同.()2．若角则角是第象限角．（10分）四()36045Zkk与330角终边相同的角为()A.30º3.选择题B.390ºC.330ºD.45ºA（10分）你判断两个角的终边是否相同的方法是什么呢？4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中在之间的角写出来.（每题20分）36036045（1）（2）55（3）22045（4）13305.分别写出：终边在x轴正半轴、x轴负半轴和x轴上角的集合.（30分）3.终边在y轴上的角的集合．1|8Z900,kn当n取奇数时，角的终边在y轴的负半轴上。当n取偶数时，角的终边在y轴的正半轴上，1．与角终边相同的角的集合．kk360|,Z2．终边相同的角的度数之差为360°的整数倍．在指定范围内求与已知角终边相同的角，首先要写出与已知角终边相同的角的集合，然后选取整数k的值，使得在指定的范围内．k360角的推广应用知识强化练习练习5.1.21.在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：⑴405°；⑵165°；⑶1563°；⑷5421°．2.写出与下列各角终边相同的角的集合，并且把集合中在－360°～360°之间的角写出来：⑴45°；⑵－55°；⑶－220°45′；⑷1330°．3.写出终边在x轴上的角的集合。