2015武汉大学《算法设计与分析》期中试卷

武汉大学计算机学院算法设计与分析期中测试姓名：学号：学院：专业：一、请用大“O(·)”记号求下列函数的渐进表达式：3n2+10n-1;n2/10+2n+1/n;14+5/n+1/n2;nn2log;20log3n（10分,每小题2分）解答：上述渐进表达式的时间复杂度分别为：3n2+10n-1=O(n2);n2/10+2n+1/n=O(2n);14+5/n+1/n2=O(1);nn2log=O(logn);20log3n=O(n)二、令{1},{2},{3},…,{8}是n个单元素集合，每个集合由一棵仅有一个结点的树表示。请用按秩合并和路径压缩措施的UNION-FIND算法来执行以下操作序列，并画出每一步操作完成后的树表示。（总分20分）合并和查找操作序列如下所示：UNION（1,2）；UNION（4,3）；UNION（5,6）；UNION（7,8）；UNION（2,6）；FIND（1）；UNION（3,8）；UNION（8,6）；FIND（4）；FIND（5）。要求：UNION操作在同秩情况下，以后一个结点作为根结点。如UNION（1，2），生成以2为根结点的树。解答：(b)21(a)2134563465UNION（1,2）;UNION（4,3）;UNION（5,6）;UNION（7,8）;(c)6251UNION（2,6）;(d)6251FIND（1）;(e)UNION（3,8）;(g)FIND（4）;(h)FIND（5）;78878374(f)UNION（8,6）;837462518374625183746251三、设有n个小球，其中一个是劣质球，其特征是重量较轻，给你一个天平，设计一个分治算法，找出劣质球。（总分15分）（1)写出算法的主要思路；（5分）（2)试分析算法的时间复杂度；（5分）（3)试分析n=9和10，即n分别为奇数和偶数，两种情形下的分治过程。（5分）解法：（1）二对分算法思路：①若小球个数≤2，则直接比较，找出假币。否则，转②。②若n%2=0，则将其分为个数相等的两部分，选择轻的部分保留，转①；否则转③。③将a[0…n-2]分为相等的两部分：若两部分重量相等，则a[n-1]为劣质球，终止；若不等，则保留轻的部分，转①。（2）以比较操作为基本运算，最好情况比较1次，最坏比较logn次，（3）①分成两部分：a[0…4]、a[5…9]，假定后者轻，保留a[5…9]②分成三部分：a[5…6]、a[7…8]、a[9]，若前两者一样重，故劣质球为a[9]。四、考试前，A老师给同学答疑，同一时间只能给一个同学答疑，有n个人等待答疑，已知每个人需要答疑的时间为ti（0i=n），请设计贪心算法安排排队次序，使每个人排队等候时间总和最小。（总分15分）（1）请写出两种以上的贪心策略，比较它们，选出一种用于贪心算法；（5分）（2）写出贪心算法的主要思路；（5分）（3）该算法一定能够保证排队时间总和最小？请简要说明理由。（5分）解法：（1）答疑时间短先安排；答疑时间长先安排。（2）本题贪心算法：n个人时间从小到大排序，就是这n个人最佳排队方案。求部分和的和即为所求。（3）反证法证明：假设有最优解序列：s1,s2…sn,如s1不是最小的Tmin，不妨设sk=Tmin,将s1与sk对调，显然，对sk之后的人无影响，对sk之前的人等待都减少了，(s1-sk)0,从而新的序列比原最优序列好，这与假设矛盾，故s1为最小时间，同理可证s2…sn依次最小。五、在一个操场上一排地摆放着Ｎ堆石子，N堆石子的编号为1，2，，N。现要将石子有次序地合并成一堆。每堆石子包含的石子个数给定，规定每次只能选相邻的２堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。（总分20分）（1)假设要求计算出将Ｎ堆石子合并成一堆的最小得分值，已知该问题可以采用动态规划来进行求解，试写出你的动态规划算法的递归方程，并分析该递归方程能否采用递归程序来实现；（5分）（2)试设计一个动态规划程序（伪代码即可），计算出将Ｎ堆石子合并成一堆的最小得分值；（5分）（3)试分析第（2）问中你设计的动态规划算法的时间复杂度；（5分）（4)如果要得到取得最小得分的合并方案，将如何修改程序，使之能够输出最优的合并方案，并分析该方法的空间复杂度（注意：最优合并方案的表示可以采用加括号的方式表示）。（5分）参考答案：注意,本题会有多种解法,参考答案仅仅是一种,改卷子时一定要看清楚（1）设S(i)表示前i堆石子总的数量(也即价值之和)，f[i][j]表示把第i堆到第j堆的石头合并成一堆的最优值。则递推方程为：][1][]s[]s[]([[]]0)[ikjminfikfkjjiijfijij-----------------------得分3分由于该递推方程递推下去包含有大量重叠子问题，所以不能直接采用递归算法来实现，递归的算法复杂度为：11221()()(n)1nknfnfkfknn-----------------------得分2分（2）算法分为初始值赋值和循环两个评分点，算法的伪代码为；Algorithmdd（）{for(i=1;i=n;i++)f[i][i]=0;//可能超出int的范围-----------------------得分2分for(i=n-1;i=1;i--)for(j=i+1;j=n;j++)f[i][j]=INF；for(k=i;k=j-1;k++)f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);-----------------------得分3分printf(%d\n,f[1][n]);return0;}（3）算法复杂度为(n3)。-----------------------得分3分（4）输出最优解的程序（和矩阵链相乘一样）Algorithmdd(p)｛n←length[p]-1fori←1tonm[i,i]←0endforforl←2tonfori←1ton–(l–1)j←i+(l–1)m[i,j]←∞fork←itoj-1q←m[i,k]+m[k+1,j]+p[i-1]p[k]p[j]ifqm[i,j]thenm[i,j]←q,s[i,j]←kendifendforendforendforreturnmands｝-----------------------得分2分PRINT-OPTIMAL(s,i,j)1ifi=j2thenprintAi3elseprint(4PRINT-OPTIMAL(s,i,s[i,j])5PRINT-OPTIMAL(s,s[i,j]+1,j)6print)-----------------------得分2分空间复杂度为(n2)。-----------------------得分1分六、最大团问题：给定无向图G=(V,E)，其中V是非空集合，称为顶点集；E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“()”表示。如果给定UV，且对任意两个顶点u，v∈U有(u,v)∈E，则称U是G的完全子图。G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。（总分20分）（1）请设计一个回溯算法（伪代码即可）来求解最大团问题；（10分）（2）你设计的算法的解向量如何表示？时间复杂度是多少？（5分）（3）假设有如下下图所示的问题实例，14235试采用你设计的算法，把求解最大团的搜索过程详细写出来。（5分）参考答案：注意,本题会有多种解法,参考答案仅仅是一种,改卷子时一定要看清楚。（1）假设解向量采用等长的二进制编码（x1,x2,,xn），其中n为图中顶点的个数，回溯算法的递归版本代码如下：Input:AnundirectedgraphG=(V,E).Output:Asolutionvectorx[1,2,…,n].1.fork1ton2.y[k]=x[k]-13.endfor4.mcl-15.maxcl(1,0,n)6.outputy7.outputmclProceduremaxcl(k,r,l)1.x(k)=02.ifk=nthen3.ifrmclthen{mcl=r,y=x}endif4.elseifr+lmaclthenmaxcl(k+1,r,l-1)5.endif6.x(k)=17.if节点k与前面取值为1的节点均有边相连then8.ifk=nthen9.ifrmclthen{mcl=r,y=x}endif10.elsemaxcl(k+1,r+1,l-1)11.endif7.endif-----------------------得分10分（2）解向量采用等长的二进制编码（x1,x2,,xn），其中n为图中顶点的个数。-----------------------得分2分时间复杂度为O(n2n)。-----------------------得分3分（3）求解过程如下图所示（由于先选取x(k)=0的节点先生成，本实例造成的树太大，所以我们先生成x(k)=1的节点，不管那种做法，答案都算对），其中红色无字方框是不满足要求的中间节点，红色有字方框为被限界的中间节点，红色圆形为不满足要求的解，灰色圆形为满足要求的解。(1,0,5)(2,1,4)(2,0,4)(3,1,3)(4,2,2)(4,1,2)(5,3,1)(5,1,1)mcl=3X(1)=1X(2)=1X(2)=0X(3)=1X(4)=1X(5)=1X(4)=0X(1)=0(3,1,3)X(2)=1X(3)=1X(3)=0(4,1,2)X(3)=0(3,0,3)X(2)=0X(5)=0-----------------------得分5分