方案设计题1

【本讲教育信息】一.教学内容：例析中考中方案设计型问题二.教学要求锻炼学生能从不同角度出发寻找问题中的答案：【典型例题】［知识要点］知识点1、用方程或不等式解决方案设计型问题此类问题属于利用方程、不等式或综合利用方程和不等式解决方案设计型问题。解决这类问题时，首先要弄清题意，根据题意构建恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围，然后再结合实际问题确定方案设计的种数。例1.（黑龙江省哈尔滨市）青青商场经销甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案。（3）在五一黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？解：（1）设该商场能购进甲种商品x件，则乙种商品为（100-x）件，根据题意，得2700x10035x15。解得40x，则乙种商品为6040100（件）。所以该商场能购进甲种商品40件，乙种商品60件。（2）设该商场购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100-a）件，根据题意，得.760a1003545a1520,750a1003545a1520解得50a48，因为a的值是整数，所以48a或49或50，即该商场共有三种进货方案，分别为：（方案一）购进甲种商品48件，乙种商品52件；（方案二）购进甲种商品49件，乙种商品51件；（方案三）购进甲种商品50件，乙种商品50件。（3）根据题意，得第一天只购买甲种商品不享受优惠条件，所以甲种商品的件数为1020200。第二天只购买乙种商品有以下两种情况：①购买打九折的乙种商品件数为845%90324；②购买打八折的乙种商品件数为945%80324；所以这两天他一共可购买甲、乙两种商品18810（件）或19910（件）。答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品共18件或19件。知识点2、用函数解决方案设计型问题例2.某文具零售店老板到批发市场选购A、B两种文具，批发价分别为12元/件、8元/件。若该店零售的A、B两种文具的日销量y（件）与零售价x（元/件）均成一次函数关系（如图所示）。（1）求y与x的函数表达式；（2）该店老板计划这次选购A、B两种文具的数量共100件，所花资金不超过1000元，并希望全部售完后获利不低于296元，若按A种文具日销量4件和B种文具每件可获利2元计算，他这次有哪几种进货方案？（3）若A种文具的零售价比B种文具的零售价高2元/件，求两种文具每天的销售利润W（元）与A种文具零售价x（元/件）之间的函数表达式，并说明A、B两种文具零售价分别为多少时，每天的销售利润最大。解：（1）设bkxy，则根据图，有.5bk15,10bk10解得.20b,1k所以y与x之间的函数表达式为20xy。（2）当4y件时，16x（元），则A种文具每件获利41216（元）。设这次购进A种文具a件，则购进B种文具（100-a）件，依题意，有.296a1002a4,1000a1008a12解得50a48，因为a为整数，所以48a或49或50，即他有三种进货方案：（方案一）购进A种文具48件，B种文具52件；（方案二）购进A种文具49件，B种文具51件；（方案三）购进A、B两种文具各50件。（3）依题意，得202x82x20x12xW5216x2460x64x222。所以当A种文具零售价为16元/件、B种文具零售价为14元/件时，零售店每天的销售利润最大。知识点3、相关图形方案设计型问题例3.（四川省资阳市）一座建于若干年前的水库大坝横断面如图所示，其中背水面的整个坡面为长90米、宽5米的矩形，现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：3；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分为9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花。（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，则3475.01EBAE。因为5AB米，由勾股定理，得AE=4米。设整修后的斜坡为AB′，由整修后坡度为1：3，得31EBAEEABtan。所以∠AB′E=30，故AB′=2AE=8（米）。故整修后背水坡面面积为720890（平方米）。（2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80平方米，因为要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种花5块，种草4块，则需要的费用为：164008042080525（元）；第二种是种花4块，种草5块，则需要的费用为：160008052080425（元）；所以应选择种草5块，种花4块，这样共需要花费16000元。知识点4、动手操作方案设计型问题例4.（江苏省无锡市）（1）如图所示，已知在△ABC中，∠A=90，∠B5.67，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等的两个角的度数）。（2）已知△ABC，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系。解：（1）如图（1）、（2），共有两种不同的分割方法。（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于点D，在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠ADB90，∠CBD=x5.090CDB，∠A=yx180。此时若满足条件，只能∠A=∠ABD，即x5.090yyx180，化简，得540y4x3。所以x75.0135y，即∠ABC=ABC43135。②若∠C是底角，则有两种情况。第一种情况：如图，当DB=DC时，则∠DBC=x。在△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x，（1）由AB=AD，可推得x3y，即∠ABC=3∠C，（2）由AB=BD，可推得x3180y，即∠ABC=C3180。（3）由AD=BD，得xyyx180，得90y，即∠ABC=90，而∠C为小于45的任意锐角。第二种情况：如图，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=90x180，此时只能有AD=BD，从而∠A=∠ABD=21∠C，这与题设∠C是最小角相矛盾。所以当∠C是底角时，BD=BC不成立。【模拟试题】（答题时间：45分钟）1.小敏妈一天共带了若干元钱去商店买糖果，当她买了甲种糖果后，又去购买乙种糖果，于是她手中持有的钱数y（元）与购买糖果的数量x（千克）之间的函数关系如图所示。请结合图象，回答下列问题：（1）根据图象中的信息，请你写出一个正确结论；（2）当她购买甲种糖果4千克后，再购买了多少千克的乙种糖果刚好用完106元？（3）小敏根据两种糖果的价格说：“共购10.6千克糖果，妈妈手中所持有的钱会刚好用完”，问小敏是怎样打算购买这两种糖果的？请说明理由。2.某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑，其电脑单价如图所示，希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑。（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台？3.某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元。（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元。该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元，试问该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？4.某电器经营业主计划购进价格分别为1800元和300元同种型号的挂式空调和电风扇共50台，已知用于购买这两种电器的资金不超过60000元。根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元，该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不能少于6100元，试问该经营业主有哪几种进货方案？5.某超市准备将10000元全部用来从厂家购进出厂价分别为16元/箱和20元/箱的甲、乙两种鲜奶，然后再将甲、乙两种鲜奶分别加价20%和25%销售，设购进甲种鲜奶x箱，全部售出两种鲜奶所获利润为y元。（1）求所获利润为y（元）与x（箱）之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）根据市场调查，甲、乙两种鲜奶保质期内销售量都不超过280箱，求超市有几种购货方案；（3）在（2）的情况下，怎样进货获利最大，最大利润是多少？【试题答案】1.（1）答案不唯一，如：小敏妈手中共持有120元；甲、乙两种糖果的单价分别为10元/千克、12元/千克；当甲种糖果购买4千克后，小敏妈手中还余80元钱。（2）当4x时，设函数的表达式为bkxy，根据题意，得,bk920,bk480解得128b,12k，故y与x的函数表达式为128x12y，当14106120y时，有128x1214，解得5.9x，故购买的乙种糖果的重量是5.545.9（千克）；（3）设购买甲种糖果x千克，乙种糖果y千克，恰好用完120元，由图象，知甲、乙两种的价格分别是10元/千克、12元/千克，则依题意，有,120y12x10,6.10yx，解得.7y,6.3x小敏打算先购买甲种糖果3.6千克，再购买乙种糖果7千克，刚好用完120元。2.（1）图表略。有6种可能结果：（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）（2）因为选中A型号电脑有2种方案，即（A，D），（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是3162。（3）由（2）可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x、y台，根据题意，得.100000y5000x6000,36yx解得.116y,80x经检验不符合题意，舍去，当选用方案（A，E）时，设购买A型号、E型号电脑分别为x、y台，根据题意，得.100000y2000x6000,36yx解得.29y,7x所以希望中学购买了7台A型号电脑。3.（1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为x元和y元，依题意，得.22500y30x10,17400y20x8解得.150y,1800x即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为1800元和150元；（2）设该业主计划购进空调t台，则购进电风扇（t70）台，则依题意，有,3500t7030t200,30000t70150t1800解得11911t1748。因为t为整数，所以t为9，10，11，