方程的根与函数零点第一课时教案-数学高一必修1第三章函数与方程3.1函数与方程3.1.3人教A版

人教A版数学教案必修1第三章3.1.1第一课时第1页共9页第三章函数与方程3.1.1方程的根与函数零点一．学习目标1．知识与技能(1).理解函数零点的概念．(重点)(2).初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)(3)会求基本初等函数的零点（重点）2．过程与方法培养学生观察、思考、分析、猜想、验证的能力，并从中体验从特殊到一般思想及函数与方程思想．3．情感、态度与价值观从函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值．二．重点难点重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件.难点：探究发现函数零点的存在性．三．专家建议以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台，通过让学生观察方程和函数形式上的联系，引导学生得出三个重要的等价关系，体现“化归”和“数形结合”的数学思想，为探索零点存在定理做好铺垫．在此基础上，以学生熟悉的一次函数、二次函数为载体，运用数形结合的思想，借助多媒体，以动态的形式演示函数值在零点附近的变化规律，通过学生的观察、思考、交流、探索归纳出连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内一定有零点的条件：f(a)·f(b)0，并通过范例及变式训练对零点存在的判定条件加以训练，突出重点的同时化解难点．四．教学方法自学探究法，公式训练法五．教学过程●情景导入方程解法史话:花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法;阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式,今天我们来学习方程的根与函数的零点！人教A版数学教案必修1第三章3.1.1第一课时第2页共9页●新知探究【问题导思】给定二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：1．方程x2＋2x－3＝0的根是什么？【提示】方程的根为－3,1.2．函数的图象与x轴的交点是什么？【提示】交点为(－3,0)，(1,0)．3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？【提示】相等．4．通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？【提示】函数值符号异号．1．函数的零点(1)定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．(2)性质：①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．2．二次函数零点与二次方程实根个数的关系判别式ΔΔ0Δ＝0Δ0人教A版数学教案必修1第三章3.1.1第一课时第3页共9页二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，x2有一个二重零点x1＝x2没有零点典例分析类型1求函数的零点例1.求下列函数的零点．(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1.【思路探究】根据函数零点与相应方程的根之间的关系，求函数的零点就是求相应方程的根．【解析】(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1.故函数的零点是－3,1.(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的实数根是－1和1.∴函数的零点为±1.【总结提升】函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【变式训练】求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点．【解】(1)当a＝0时，令y＝0得x＝－2；(2)当a≠0时，令y＝0得x＝1a或x＝－2.①当a＝－12时，函数的零点为－2；②当a≠－12时，函数的零点为1a，－2.综上所述：(1)当a＝0或－12时，零点为－2；(2)当a≠0且a≠－12时，零点为1a，－2.人教A版数学教案必修1第三章3.1.1第一课时第4页共9页类型2函数零点个数的判断例2.判断下列函数的零点个数．(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x.【思路探究】(1)令fx＝0―→解方程求根―→根的个数2令fx＝0―→令hx＝x2，gx＝1x―→作hx、gx图象―→判断两图象的交点个数【解析】(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1＞0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4，∴函数f(x)有两个零点．(2)法一由x2－1x＝0，得x2＝1x.令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x.在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0，∵x≠0，∴x3－1＝0，∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0，∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．1．二次函数零点个数的判断依据Δ与0的大小关系．2．y＝f(x)－g(x)类型函数零点个数的两种判断方法人教A版数学教案必修1第三章3.1.1第一课时第5页共9页(1)所求转化为函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的个数，通过画y＝f(x)－g(x)的图象解决．(2)所求转化为方程f(x)－g(x)＝0，即f(x)＝g(x)根的个数，再转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)两个函数的图象的交点个数．【变式训练】若f(x)＝x|x|－2，则y＝f(x)的零点个数为________．【解析】当x＞0时，f(x)＝x2－2＝0，得x＝2或x＝－2(舍)，当x≤0时，f(x)＝－x2－2＝0无解，∴f(x)有一个零点．【答案】1函数1()fxxx的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解答：选A.函数的定义域为xxR,x0,且当x0时,f(x)0，当x0时，f(x)0，所以函数没有零点，故选A.类型3函数零点性质的应用例3.求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋mx＋3＝0的两根x1，x2(x1≠x2)．(1)都大于0；(2)都小于0；(3)都大于2.【思路探究】令f(x)＝x2＋mx＋3，由于函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标，所以上述三问均可利用二次函数的图象来确定零点，进而确定参数m的取值范围．【解析】(1)依题意∵Δ＞0f0＞0－m2＞0，即m2－12030－m20，∴m＜－23.(2)依题意∵Δ＞0f0＞0－m2＜0，即m2－12030－m20，∴m＞23.人教A版数学教案必修1第三章3.1.1第一课时第6页共9页(3)依题意∵Δ0－m22f20，即m2－120－m224＋2m＋30∴m23或m－23m－4m－72，∴不存在m，使方程两根都大于2.【总结提升】解决有关根的分布问题应注意以下几点：(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题；(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向；(3)写出由题意得到的不等式；(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想．【变式训练】将③中“两个零点都大于2”改为“一个大于2，一个小于2”求实数m的取值范围．【解】根据题意知：∵Δ0f20∴m23或m－232m＋70∴m－72.五、课堂小结1.函数的零点的定义．2.等价关系3．判断函数的零点，可利用的结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.人教A版数学教案必修1第三章3.1.1第一课时第7页共9页六．板书设计方程的根与函数零点七．当堂检测1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．－12，－1B.12，1C.12，－1D．－12，1【解析】令f(x)＝2x2－3x＋1＝0得x＝12或x＝1，故选B.【答案】B2．函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】∵f(x)＝x3－2x2＋2x＝x(x2－2x＋2)，又x2－2x＋2＝0，Δ＝4－8＜0，∴x2－2x＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B.【答案】B3．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋x2，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】令f(x)＝0，学习目标(1).理解函数零点的概念．(重点)(2).初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)1.注意事项：12．3．4.典例分析例1例2例3例4学生练习小结：作业当堂检测反馈人教A版数学教案必修1第三章3.1.1第一课时第8页共9页则x2＋2x－3＝0(x≤0)或x2－2＝0(x0)，解得：x＝－3或x＝2符合题意，故选B.【答案】B4．求函数y＝x3－7x＋6的零点．【解】∵x3－7x＋6＝(x3－x)－(6x－6)＝x(x2－1)－6(x－1)＝x(x＋1)(x－1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)，∴由x3－7x＋6＝0即(x－1)(x－2)(x＋3)＝0得x1＝－3，x2＝1，x3＝2.∴函数y＝x3－7x＋6的零点为－3,1,2.八、课后拓展知识延展——一元二次方程根的分布情况下面为几类常见二次方程根的分布情况及需满足的条件(只讨论a0的情况，a0时可变形为a0的情况).根的分布(mnps为常数)图象满足的条件x1x2mΔ0，－b2am，fm0.mx1x2Δ0，－b2am，fm0.x1mx2f(m)0mx1x2nΔ0，m－b2an，fm0，fn0.人教A版数学教案必修1第三章3.1.1第一课时第9页共9页mx1nx2pfm0，fn0，fp0.只有一根在(m，n)之间Δ＝0，m－b2an.或f(m)·f(n)0mx1npx2sfm0，fn0，fp0，fs0.