无穷级数习题课有答案

第十二章无穷级数习题课一、本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。二、本章重点用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。三、例题选讲例1：判别级数21ln1lnln1nnnn的敛散性。（用定义）解：原式=22ln1ln11()lnln1lnln(1)nnnnnnnn级数的部分和111111ln2ln3ln3ln4lnln(1)nSnn111ln2ln(1)ln2n，n所以原级数收敛，且收敛于1ln2。例2：判别下列级数的敛散性（1）111lnnnnn，（2）211lnnnn，（3）121nnnn（4）11!2!!2!nnn，（5）21111nnnxxxx，（0x）（6）ln113nn解：（1）因为ln(1)lnnn，所以1111lnln(1)0nnnnn，而111lnlnln1111nnnnnn，有2111111ln1(1)nnnnnnnn，由比较审敛法知，级数111lnnnnn收敛。（2）因为2221lnlimlimnnnnnunn，又211nn收敛，所以原级数收敛。（3）用根值法1121212limlimnnnnnnnn，所以原级数收敛。（4）1!2!!11!!211!nnnnnn2!1!2!nnn所以12!212!122122nnnunnnnn有比较法知，原级数收敛。（5）比值法：111limlimnnnnnuxux，当01x时，11limnnnuxu，级数收敛，当1x时，1112limnnnuu，级数收敛，当1x时，101limnnnuu，级数收敛。所以，当0x时，级数收敛。（6）101133ln31yxyedxdy，所以原级数收敛。例4：判断级数21sinlnnnn的敛散性。解：11sinlnnnun1sinlnnun，又11lnnn，知级数21lnnn发散，从而2nnu发散，即级数非绝对收敛。因为1sin0lnlimnn，且1sinlnx在2，内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。例3：证明级数1n-12111nnen收敛。证：设111nfxen，则原级数为n-121nfn，又132110,(0)2xfxxex，即fx在0,内单调下降，从而1fnfn，且0limnfn，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。例4：设数列na为单调增加的有界正数列，证明级数211nnnaa收敛。证明：因为数列na为单调增加有上界，所以极限存在。设limnnaa，考虑1111101nnnnnnnnaaaaauaaa而级数11112limnnnnnaaaaaa存在，由比较审敛法知，原级数收敛。例5：求下列幂级数的收敛域（1）12nnnxn，（2）2112sin22nnxnx，（3）2321nnnnxn解：（1）11212limlimnnnnanan，所以收敛半径为2R，收敛区间2,2。2x时，级数11nn发散；2x时，111nnn收敛。所以收敛域为2,2。（2）令122xtx，原级数为21sin2nntn因为11sin2111sin2limlimnnnnnaan，所以收敛半径1R。又1t时级数21sin2nntn发散，1t时级数21sin2nntn收敛，故其收敛域为1,1D：再由12112xx，解得原级数的收敛域为13,3D。（3）1121331112333limlimnnnnnnanan，所以收敛半径13R，收敛区间为：11133x，即4233x当43x时，原级数收敛，当23x时，原级数发散。得原级数的收敛域为42,33D。例6：求下列级数的和函数（1）21021!nnnxn，（2）221212nnnnx，（3）201123!nnnnxn（2）1121212122limlimnnnnnnnaan，所以收敛半径1212R。又2x时，原级数发散，所以级数的收敛域为2,2D。设级数的和函为sx，对幂级数逐项积分得，212200112122nxxnnnnnnxsxdxxdx21211()222212nnxxxxxx，2,2x对上式两边求导得2222222xxsxxx，2,2x。（3）易求级数的收敛域为,。记级数的和函为sx，因为121230011sin21!23!nnnnnnxxxxnn，所以12301sin23!nnnxxxn，,x即12201sin123!nnnxxnx，0x对上式两端求导得：121202111cossin23!nnnnxxxxnx故有12130111cossin23!2nnnnSxxxxxnx，0x当0x时，由所给级数知106S。因此31cossin02106xxxxxSxx例7把级数121221121!2nnnnxn的和函数展开成1x的幂级数。解：记级数的和函为sx，即11212122111122sin21!221!22nnnnnnnxxsxxnn，22101111111sin2(sincoscossin)222221111112sin12cos122!2221!2nnnnnnxxxsxxxnn,x例8求级数22112nnn的和。例9设111lnarctan412xfxxxx，试将fx展开成x的幂级数。解：24440111111111141412111nnnnfxxxxxxx所以44100111041xxnnnnfxffxdxxdxxn，1x。例10求函数2sin,020,02TxxTfxTx的傅立叶展开式。解：fx分段连续，满足展开定理条件220021222sin2TTTafxdxxdxTTT，22022212222cossincos22,2114110,21TTTnnnnafxxdxxxdxTTTTTnkknnk，1,1,2,nk另求1a：2210022214sincoscos04TTxxxadxTTTT，220212222sinsinsin0,12TTTnnxxnxbfxdxdxnTTTTT另求1b：2102221sinsin2TxxbdxTTT所以函数fx的傅立叶级数为：21112214sincos,,241nxnxfxxTnT。例11已知函数2,02fxxx，是周期为2的周期函数，（1）求fx的傅立叶级数；（2）证明22116nn；（3）求积分10ln1xdxx的值。解：（1）222200011183afxdxfxdxxdx222022014cos,14sin,1,2,nnaxnxdxnbxnxdxnn所以有22214114cossin,0,23nxnxnxxnn由收敛定理，0,2x时，级数收敛于2002022ff，又x是连续点，所以2221414cos,3nnn即：221112nnn。（2）当0x时，有222141423nn，亦即：22116nn。（3）积分10ln1xdxx是广义积分，0x是瑕点，由广义积分的定义的111112011000ln1111limlimnnnnnnxxxdxdxxxnn21211112nnn