时域信号及其频谱之间的关系

时域信号及其频谱之间的关系可以从许多方面来论述时域信号及其频谱之间的关系。这里只是其中比较容易理解的一种。如果连续时间信号)(tx的频谱在W||时等于0，这种信号就称为带限信号。而满足bt|tx|,0)(的信号，则称为时限信号。可以得到这样的结论，即：连续时间如果是时限的，则它不会是带限的。反之亦然。仅有的例外是0)(tx（t取任何值）。这种情况无需考虑。为了确定上述论断，下面证明：如果)(tx是带限的而又仅存在于bt，则必有0)(tx。事实上，如果)(tx是带限的，其频带不超过W，则WWteXtxd)(21)(j（1）反复对t求微商，得WWtkkeXtxd)j)((21)(j)(,...2,1,0k（2）式中，kkkttxtxd)(d:)()(。因为)(tx被时限于b，故其微商在bt||之处均为0。所以对于任何满足ba的点a，式（2）变为0d)j)((jWWtkeX（3）其次，因为02!...!2!11kkckccce故式（1）可改写为WWaateeXtxd)(21)(j)(jWWakkekatjXd]!))(()[(21j0d))((]!2))((j0aWWkkkeXkatj根据式（3），上式为0。因此，既是带限又是时限的连续时间信号一定等于0。由此得到结论，即：非零的时间信号不能既是时限的又是带限的。这个结论对连续时间信号的数字处理有重要意义：连续时间信号一定是无限长，或者其频谱是无限宽，或者二者兼而有之。这一点对连续时间信号的数字处理有重大限制。如果连续时间信号是限带的，则取采样间隔足够小就可以精确地算出其频谱。但是，由于信号不可能是时限的，故序列会是无限长的。于是，在计算频谱时，需要截断序列。这就使算出的频谱不可能精确无误。换句话说，用时域信号的采样序列计算频谱时，会产生频率混叠。总之，从理论上说，对连续时间信号进行数字处理时，一定会出现误差。01020304000.20.40.60.81Time(s)Amplitudex(t)=exp(a*t),a=-0.1图1指数信号虽然连续时间信号在理论上不可能同时是时限的和带限的，但在实践中，许多连续时间信号却可以这样认为。例如，图1的指数信号并不是时限的。但是，该信号向0衰减很快.例如，若50t，信号值小于峰值的%1，而100t时，小于%01.0。因此，可以认为指数信号是时限的。同样，当||趋于无限大，其频谱以||/1为下降率趋于0。因此，其频谱也可以被认为是带限的。总之，许多实际信号可以被认为既是时限的又是带限的，因而可以精确地对其进行数字处理。