我眼中的应力和应变

我眼中的应力和应变洑阳成明080706002初次接触应力和应变是在本科生阶段的材料力学这门课上，当时的应力与应变是对于等截面杆件而言。说到应力，首先通过截面法确定出杆件的内力，然后在计算应力时先取围绕某一点M的微小面积∆A，∆A上分布的内力的合力为∆F，当∆A无限趋近于0时，两者比值就是该点的应力p。应力是矢量，反映了一点处内力的强弱，可将其分解为正应力σ和切应力（或剪应力）τ。对于应变，可分为线应变和切应变（或角应变）。谈到线应变，首先得谈一谈固体内某点M的位移，该点位移为由变形引起，假设变形前平行于x轴的线段MN长度为∆x，变形后M和N分别位移到'M和'N，长度变为∆x+∆s，∆s为MN每单位长度的平均伸长或缩短，当M和N距离无限近时，∆s与∆x比值为M点在x轴方向的线应变ε；而对于切应变，先假设MN与ML在变形之前正交，变形后M、N、L分别变为'M、'N、'L，夹角变为∠'''NML，角度变化为（π/2－∠'''NML），当N、L无限趋近于M时，角度变化的极限值为M点的角应变γ。应变反映了一点处变形强弱的程度。应力与应变之间满足广义胡克定律。在接触弹塑性力学这门课之后，我发现之前应力和应变的适用范围比较局限，对应力和应变的了解不够深刻。关于应力：在弹塑性力学中接触到的应力适用于可变形固体。要求得点M的应力，首先要确定一个包围点M闭合曲面，闭合曲面的面积为∆A,该区域为内域，物体除去该闭合曲面的区域为外域，内域受到外域的作用力即为内力∆R，根据闭合曲面可以得到一条外法线n，当面积∆A无穷小时，∆R与∆A的比值即为该点在外法线n方向上的应力。从中可以看出，确定可变形固体的应力不仅要明确在哪个点，还要明确外法线的方向，而不同的闭合曲面有不同的外法线方向，因此与点的闭合曲面的选取有关。物体内某一点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。为弄清一点M的应力状态，在M处分别截取一个正方体作为微元体，并使三个微分面外法线方向与三个坐标轴方向一致，可以得到9个应力分量，若把应力矢量Pn沿微分面的法线方向和切线方向分解，则沿法线方向的应力分量n称为正应力，沿切线方向的应力分量n称为剪应力。将9个应力分量作为一个整体可组成二阶张量，称为应力张量ij，表示为xxyxyijxyyxyxyxyz。应力张量ij描绘了一点处的应力状态，即只要知道了一点的应力张量ij，就可以完全确定通过该点的各个微分面上的应力。对于应力，需要确定主应力，由于过同一点可以选取不同的微分面，因此存在一微分面，使得应力只有正应力分量，没有剪应力分量，该微分面称为主平面，其法线方向为应力主方向（简称主方向），其上正应力为主应力。若把这三个互相垂直的主方向取为坐标系的三个坐标轴方向，依次建立起来的几何空间，称为主应力空间。该空间的三个坐标称为应力主轴。在主应力空间里，该点的应力张量ij可以表示为123000000ij，式中：1，2和3为主应力。通过同一点的所有微面上的正应力中最大和最小的是主应力；并且通过同一点的任意微分面上的总应力其绝对值介于最大主应力和最小主应力的绝对值之间。最大剪应力所在的微分面与某一应力主轴平行，并且平分另外的两个应力主轴。在物体内部处于平衡状态时，内部各点的应力与体力满足平衡微分方程，也称纳维方程；同时也满足剪应力互等定理。在物体表面处，各点的应力与面力满足静力边界条件。由于满足剪应力互等定理，应变张量为二阶对称张量。关于应变：在弹塑性力学中接触到的应变的定义与之前材料力学类似，但是适用对象由原来的等截面杆件变为任意可变形物体。与应力张量对应，存在应变张量。应变张量分量,,xyyzzxxyyzzx和与剪应变分量和之间存在如下关系：xy=12xy，yz=12yzzx=12yz为区别起见，通常把剪应变分量,xyyzzx和称为工程剪应变。同一点的应变张量的分量服从张量变换规律，因此，他们组成一个对称的二阶张量即为应变张量。一点的应变张量为112211221122xxxyxzijyxyyyzzxzyzz。与主应力、主应力空间对应，也存在主应变、主应变空间。在主应变空间中，该点的应变张量ij可表示为12300=0000ij。式中：1、2、3为主应变。由于应变引起物体内点的位移，因而应变与位移存在对应关系。通过学习可知，应变与位移满足几何方程，又称柯西方程。在几何方程中，六个应变分量由三个位移分量表示，因而六个应变分量存在一定联系。对于物体内部的微元体，满足应变协调方程，即圣维南方程；而对于边界的微元体，满足位移边界条件。如果为单连通物体，应变分量满足应变协调方程和位移边界条件是物体连续的充分必要条件。如果为多连通物体，还应满足位移单值条件。以上是我对应力和应变的了解与认识，恳请老师批评指教！