打印(数字信号处理)

3．判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。是常数AnAnx8π73cos)()81(je)(nnx(1)(2)解：（1）因为ω=π,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14（2）因为ω=,所以=16π,这是无理数，因此是非周期序列。7381π2314π2第一章6．给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）y(n)=x(n－k)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)=x(k)（4）y(n)=x(n－n0)（5）y(n)=ex(n)101NkN00nnnnk解：（1）只要N≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤M，（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,因此系统是稳定系统。（3）如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤|x(k)|≤|2n0+1|M，因此系统是稳定的；假设n00，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。（4）假设n00，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤M，因此系统是稳定的。（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，00nnnnkm7．设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。解：解法（一）采用列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(n－m)题7图y(n)={－2,－1,－0.5,2,1,4.5,2,1;n=－2,－1,0,1,2,3,4,5}解法（二）采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)由于x(n)*δ(n)=x(n)x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故21y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)=2x(n)+x(n－1)+x(n－2)将x(n)的表示式代入上式，得到y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2)+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)2121将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出x(n)和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。)(~nx)(~nx)(~nx)(~kX解：画出x(n)和的波形如题4解图所示。)(~nx为周期以4)(~e)4πcos(2)ee(ee1ee)(~)](~[DFS)(~4πj4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn其它01.01)(nnx4．设第二章•题4解图为周期以4)(~π41sinπ21sine)e(ee)ee(ee1e1e)(~π4141jπ41jπ41jπ21jπ21jπ21j2πjπ102πjkXkkkXkjπkkkkkkkkjnkn或者)2π(δe)4πcos(π)2π(δ)(~2π)4π2δ()(~4π2)](~[FT)e(4πjjkkkkXkkXnxXkkkk23．设系统由下面差分方程描述：y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)（1）求系统的系统函数H(z)，（2）限定系统是因果的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)（3）限定系统是稳定性的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。解：（1）y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)将上式进行Z变换，得到Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零点为z=0。令z2－z－1=0，求出极点：2511z2512z极零点分布图如题23解图所示。(2)由于限定系统是因果的，收敛域需选包含∞点在内的收敛域，即。求系统的单位脉冲响应可以用两种方法，一种是令输入等于单位脉冲序列，通过解差分方程，其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应；另一种方法是求H(z)的逆Z变换。我们采用第二种方法。2/)51(zzzzHzHTZnhcnd)(πj21)]([)(11式中•题23解图1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zzzzzzzHzFnnn≥0时，h(n)=Res［F(z),z1］+Res［F(z),z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因为h(n)是因果序列,n0时，h(n)=0，故)(25125151)(nunhnn(3)由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即|z2||z||z1|,211)()(zzzzzzzHzFnnn≥0时，c内只有极点z2，只需求z2点的留数，nzzFnh)251(51]),([sRe)(2n0时，c内只有两个极点：z2和z=0，因为z=0是一个n阶极点，改成求圆外极点留数，圆外极点只有一个，即z1,那么nzzFnh25151]),([sRe)(1最后得到)1(25151)(25151)(nununynn15．已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25,0.125-j0.3018,0,0.125-j0.0518,0。（1）求X(k)的其余3点的值；（2）18()(58)()mxnxnmRn求X1(k)=DFT［x1(n)］8；（3）j/42()()enxnxn，求228()DFT[()]Xkxn。第三章解：（1）因为x(n)是实序列，由第7题证明结果有X(k)=X*(N－k)，即X(N－k)=X*(k),所以，X（k）的其余3点值为{X(5),X(6),X(7)}={0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018（2）根据DFT的时域循环移位性质，51188()DFT[()]()kXkxnWXk(3)811j/4-j/4228280011((1))(1)888800()DFT[()]()()ee=()()((1))()NNknnnknnNNknknnnXkxnxnWxnxnWxnWXkRk18．用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F≤50Hz，信号最高频率为1kHz，试确定以下各参数：(1)最小记录时间Tpmin；(2)最大取样间隔Tmax；(3)最少采样点数Nmin；(4)在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。解:（1）已知F=50Hz，因而s02.05011minpFTms5.010212113maxminsmaxffT（2）pminmin3max0.02s400.510TNT（3）（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大1倍，即为0.04s，实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。80ms0.5s04.0minN19．已知调幅信号的载波频率fc=1kHz，调制信号频率fm=100Hz，用FFT对其进行谱分析，试求：(1)最小记录时间Tpmin;(2)最低采样频率fsmin;(3)最少采样点数Nmin解：调制信号为单一频率正弦波时，已调AM信号为x(t)=cos(2πfct+jc)［1+cos(2πfmt+jm)］所以，已调AM信号x(t)只有3个频率：fc、fc+fm、fc－fm。x(t)的最高频率fmax=1.1kHz，频率分辨率F≤100Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数，以便能采样到这三个频率成分）。故ms10s01.010011minpFT(1)(2)sminmax22.2kHzFf22102.2101033minpmaxpminfTTTN(3)22．证明DFT的频域循环卷积定理。证：DFT的频域循环卷积定理重写如下:设h(n)和x(n)的长度分别为N和M，ym(n)=h(n)x(n)H(k)=DFT［h(n)］L,X(k)=DFT［X(n)］L则1()DFT[()]()mmLYkynHkLLX(k)1j01()(())()LLLHjXjkRkL其中，L≥max［N，M］。根据DFT的惟一性，只要证明ym(n)=IDFT［Ym(k)］=h(n)x(n)，就证明了DFT的频域循环卷积定理。1j0110j011()j001()[()]()(())()11()(())11()(())1()(())LmmLLNLknLNkLNjnkjnLNNkmkjLmynIDFTYkIDFTHjXjkRkLHjXkjWLLHjWXkjWLLhnXmL令110101()(())1()()()()NjNmnmnNLNjmNmnLNmWhnXmWLhnXmWhnxnL第五章1.已知系统用下面差分方程描述:)1(31)()2(81)1(43)(nxnxnynyny＋－＝试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。解：将原式移项得)1(31)()2(81)1(43)(nxnxnynyny将上式进行Z变换，得到121)(31)()(81)(43)(zzXzXzzYzzYzY21181431311)(zzzzH(1)按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。题1解图（一）(2)将H(z)的分母进行因式分解：)411)(211(31181431311)(111211zzzzzzzH按照上式可以有两种级联型结构:①1114111211311)(zzzzH画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。②1114113112111)(zzzzH画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。题1解图（二）(3)将H(z)进行部分分式展开：)411)(211(311)(111zzzzH4121)41)(21(31)(zBzAzzzzzH310)21()41)(21(3121zzzzzA37)41()41)(21(3141zzzzzB413721310)(zzzzH11411372113104137)21(310)(zzzzzzzH根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。题1解图（三）9.已知FIR滤波器的系统函数为)9.01.29.01(101)(4321zzzzzH试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。解：画出滤波器的直接型结构、线性相位结构分别如题9解图(a)、(b)所示。题9解图4.已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下：a22()()saHssab(1)(2)a22(