应力状态与强度理论.

应力状态与强度理论邢俊霞2020年1月1日材料力学：基本上只研究所谓杆状构件（长度远大于高度和宽度）的拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力与位移。结构力学：主要是在材料力学基础上研究杆状构件所组成的杆件系统，例如桁架、刚架等。弹性力学：中主要研究非杆状结构的三维弹性体，例如板和壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。此次分析从微分单元体入手，从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。应力状态分析—首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力、最大切应力等。力学假设:•连续•均匀•各向同性•小变形•完全弹性:载荷消除后其变形能完全消失理论力学：研究物体机械运动的基本规律的学科。理论力学中的物体主要指质点、刚体及刚体系，不考虑材料的变形。基本概念与假设1§1.5应力边界条件§1.3平衡微分方程§1.2应力与应力张量§1.1体力和面力§1.6主应力与应力主方向目录§1.4应力状态的描述第一章应力理论2§1.1体力和面力体力：电磁力；惯性力（重力）；也称质量力。物体单位体积的载荷。[F/LLL]面力：指分布在物体表面上的外力，如液体压力、接触力等。物体单位面积的载荷。[F/LL]物体外力3力是物体（物质）与物体（物质）之间的相互作用产生。力的大小、方向、作用点是力的三要素。•内力–物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。当物体内部形成的内力场足以和外力相平衡时，变形不再继续，物体达到稳定平衡状态。•应力–内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微面积ΔS上内力的平均值称平均应力。•应力矢量–应力是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。§1.2应力与应力张量SpFn4np§1.2应力与应力张量应力状态：一点所有截面的应力矢量的集合。应力状态分析：讨论一点各个截面的应力变化的趋势。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。5我们在用有限元软件求解首先得到的是某一坐标系下的应力分量，不同的坐标系其结果就会明显不同，如何将这些应力分量来度量其强度是否满足要求（强度分析）？•沿法向和切向分解:应力矢量沿其作用面的，称为正应力，称为剪应力。•沿坐标分解：应力矢量沿三个坐标轴分解kpjpippzyxn•沿微分面分解：沿物体内部点M的三个彼此垂直的微分面（使之与坐标平面平行）分解，则在这三个微分面上的应力矢量可分别表示为kjipkjipkjipzzyzxnzyzyyxnyxzxyxnx应力矢量的分解§1.2应力与应力张量nptnpnnn6333231232221131211zzyzxyzyyxxzxyxij应力张量•应力分量是标量、箭头仅是说明方向。•一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。应力张量可以描述一点应力状态。§1.2应力与应力张量7应力方向约定：第一个下标定面，第二个下标定方向说明：•重复出现的下标叫做求和下标，相当于这称为求和约定；31/ji•不重复出现的下标i叫做自由下标，可取1,2,3；kjipkjipkjipzzyzxnzyzyyxnyxzxyxnx,,,,,,,,xxyxzxyzxyzxyzX轴方向负面上:,,,,,,,,,,,,xyxxzxxyxxyzxzxxyxdxyzxdxyzxdxyzzdxdxdxxxx因为应力是坐标的连续函数，所以X轴方向正面上:§1.3平衡微分方程8微分六面体受力分析§1.3平衡微分方程•物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一点的平衡。•考察微分平行六面体单元dx,dy,dz，内部在面力与体力作用下处于平衡。•正方向（约定）：正面正向，负面负向为正•单位体积力的分量为：微分平行六面体单元,,bxbybzFFF平衡9静力平衡条件:,,xyzFOFOFO,,xyzMOMOMO主矢为零：主矩为零：§1.3平衡微分方程10;0xyxxxyxzxbxyxzxzxxFOdxdydzdydxdydzdxdzdxddyFdxzxydzdxdyzdydz0bxzxyxxFzyx主矢为零：§1.3平衡微分方程11平衡微分方程0,bjiijF0bxzxyxxFzyx00xyyzybyyzxzzbzFxyzFxyz§1.3平衡微分方程12•重复出现的下标叫做求和下标，相当于这称为求和约定；31i•不重复出现的下标j叫做自由下标，可取1,2,3；忽略四阶小量，则有：yzzy主矩为零：§1.3平衡微分方程13021212121dzdxdydzdxdydyydydxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz切应力互等定理ijjixyyxxzxzyzzy同理§1.3平衡微分方程因此，过一点三个互相垂直微分面上的九个应力分量有六个是独立的。14333231232221131211zzyzxyzyyxxzxyxij§1.4应力状态的描述•应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。显然，弹性体内某确定点各个截面的应力必然存在一定的关系。如果应力张量能够描述一点的应力状态，则1.应力张量如何斜面上应力参数？——斜面应力公式；2.应力张量如何描述坐标变换关系？——转轴公式。15设面ABC的外法线n的方向余弦为l,m,n;三个坐标轴的单位向量分别为;研究图示四面体的平衡。设四面体除受四个面上的应力作用以外，还受到体积力的作用，以,,bxbybzFFF表示单位体积力的分量。§1.4应力状态的描述斜截面上的应力16kji,,则四面体所受单位体积体力为斜面上所受应力矢量为hS为高阶小量，因此可以忽略不计§1.4应力状态的描述kpjpippzyxnknjmilnkFjFiFFbzbybxb设斜截面面积为S斜面法向量为17iijjpn张量表达式：公式表明：已知应力张量，可以确定任意微分斜截面的应力矢量。当然可以确定正应力与切应力。这就是著名的柯西公式，又称为斜面应力公式。它说明：过一点三个互相垂直微分面上的六个应力分量完全确定了该点的应力状态。这样，我们就可以把要了解各点应力状态的问题，简化为去求各点的六个应力分量的问题。§1.4应力状态的描述18321333231232221131211321nnnppp•同一直角坐标系下，应力矢量随截面方位改变而变化，同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力矢量也不同。•在坐标系变换时应力分量的变化规律又如何？§1.4应力状态的描述坐标变换的应力19坐标变换的应力分量和应力张量•坐标系平动时，n方向无变化，应力分量不变化。•坐标系旋转时：§1.4应力状态的描述20kpjpipppzyxnn§1.4应力状态的描述21nmlpnmlpnmlpzzyzxzyzyyxyxzxyxx应力矢量由柯西定理知：坐标系旋转的应力§1.4应力状态的描述22坐标系旋转的应力kpjpipppzyxnn,222111111111111111111111111222xxyzxyxzxxyyzyxxyzxyzyzzyzzxppplmnlmnlmnlmnlmlmnlmnmnnl121212122112211221111111112222212xyxyzxyxzxxyyzyxzyxyzzzxyyzzxllmmnnlppplmnlmnlmnmlmmnmnlnlnlmnlmn131313133113311331111111113333313xzxyzxyxzxxyyzyxzyxyzzzxyyzzxllmmnnlppplmnlmnlmnmlmmnmnlnlnlmnlmn§1.4应力状态的描述n11n21n31n12n22n32n13n23n33xyz,,通过三者的轮换，可得到其余六个应力分量表达式yxxyxzzxyzzy,,并可证明：•转轴公式````ijijiijjnn§1.4应力状态的描述24坐标系旋转的应力33111331312331332123132123111233313323212213111131nnnnnnnnnnnnnnnnnnn11n21n31n12n22n32n13n23n33•转轴公式—又称为应力分量转换公式。它表明：当坐标作转轴变换时，应力分量遵循二阶张量的变换规律。新坐标系下的九个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。•因此从数学上证明了一点的应力状态是一个二阶张量，在坐标转换时具有不变性。即物体内一点的客观受力状态不会因人为地选择参考坐标而改变。通俗地讲，坐标改变后各应力分量都改变了，但九个分量作为一个“整体”，所描述的一点的应力状态是不会改变的。•应力张量是二阶对称张量。````ijji§1.4应力状态的描述25坐标系旋转的应力平面应力状态转轴公式弹性力学以坐标系定义应力分量；材料力学以变形效应定义应力分量。正应力二者定义没有差异而切应力定义方向不同（材力：顺时针旋转为正。）§1.4应力状态的描述26平面问题转轴公式：)sin(cossincos)(sincos2cossinsincos2sincos22``22`22`xyyxyxxyyxyxyyxx§1.4应力状态的描述27````ijijiijjnn1111nnx1111222221211212212122111111nnnn112121211112nnnn•转轴公式n11n21n12n22§1.1-1.4小结当某一坐标下的应力分量确定后•可以确定任意斜截面的应力分量以及应力全量。•可以确定任意平移及旋转坐标系下的应力分量。•一点的应力状态是一个对称二阶张量，在坐标转换时具有不变性。28转轴公式柯西公式````ijijiijjnn§1.