教师用习题解答第2章

张文杰、曹阳主编《大学物理教程》习题解答第二章习题解答思考题2.1从运动学的角度看，什么是简谐振动？从动力学的角度看，什么是简谐振动？答：从运动学的角度看，弹簧振子相对平衡位置的位移随时间按余弦函数的规律变化，所作的运动就是简谐振动。从动力学的角度看，如果物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比，而方向相反，那么该物体的运动就是简谐振动。2.2弹簧振子的振幅增大到2倍时，其振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度等物理量将如何变化？答：弹簧振子的运动方程为0cos()xAt，速度为0sin()vAt，加速度的为)cos(02tAa，振动周期2kTm，总能量为221kAE。所以，弹簧振子的振幅A增大到2倍时，其振动周期不变，振动能量为原来的4倍，最大速度为原来的2倍，最大加速度为原来的2倍。2.3下列运动是否为简谐振动？（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动；（3）曲柄连杆机构使活塞作往复运动；（4）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。答：（2）、（4）为简谐振动，（1）、（3）、不是简谐振动。2.4三只相同的弹簧（质量忽略不计）都一端固定，另一端连接质量为m的物体，它们放置情况不同，其中一个平放，一个斜放，另一个竖直放。如果它们振动起来，则三者是否均为简谐振动，它们振动的周期是否相同？答：三者均为简谐振动，它们振动的周期也相同。2.5当谐振子作简谐振动的振幅增大为原来的2倍时，谐振子的什么量也增大为原来的2倍？答：最大速度和最大加速度。2.6一弹簧振子作简谐振动，其振动的总能量为E1。如果我们将弹簧振子的振动振幅增加为原来的2倍，而将重物的质量增加为原来的4倍，则新的振子系统的总能量是否发生变化？答：弹簧振子212EkA，所以新的振子系统的总能量增加为原来的4倍。2.7一质点作简谐振动，振动频率为n，则该质点动能的变化频率是多少？答：该质点动能的变化频率是2n。2.8受迫振动的频率是否由振动系统的固有频率所决定？答：不是。2.9产生共振的条件是什么?答：策动力的频率接近振动系统的固有频率。2.10同方向同频率的简谐振动合成后的振动一定比分振动强度大吗？答：不一定。2.11产生机械波的条件是什么？答：机械波的产生，首先要有波源，即作机械振动的物体，其次，要有能够传播这种机械振动的介质。2.12机械波从一种介质进入另一种介质，其波长、波速和频率这三个物理量中，哪些会改变，哪些不变？答：频率不变，波长、波速会改变。2.13波速和介质的振动速度有何区别？答：波速是指振动在介质中传播的速度，它决定于介质本身的惯性和弹性，而与波源的振动频率无关。介质的振动速度是指介质的质点在其平衡位置附近作简谐振动的速度。2.14平面简谐波的平面是指什么？答：当波源作简谐振动时，介质中各质点也作简谐振动，这时的波动称为简谐波。波面为平面的简谐波叫做平面简谐波。2.15从能量的角度看，谐振子系统与传播机械波的弹性介质元有何不同？答：谐振子系统在运动过程中不受外力和非保守内力的作用，动能和势能分别随时间而变化，其总能量守恒，与振幅的平方成正比。在波动过程中，传播机械波的弹性介质元在各自的平衡位置附近振动，而具有动能，同时介质要产生形变，因而具有弹性势能，介质的动能与势能之和称为波的能量。在波传播的介质中，对于某一固定点x，动能能量密度wk、势能能量密度wp均随x周期性的同步变化。和弹簧振子的情况不同，这里没有动能和势能的相互转化，能量密度均随t而变，但并不守恒。2.16在一根很长的弦线上形成的驻波是：（A）由两列振幅相等的相干波沿相同方向传播叠加而形成的（B）由两列振幅不相等的相干波沿相同方向传播叠加而形成的（C）由两列振幅相等的相干波沿相反方向传播叠加而形成的（D）由两列波沿相反方向传播叠加而形成的答：（C）2.17当x为某一定值时，波动方程y=Acos2π(t/T-x/λ)所反映的物理意义是什么？答：当x为某一定值时，波动方程y=Acos2π(t/T-x/λ)表示距原点为x处的质点在各不同时刻的位移，即这个质点在作周期为T的简谐振动的情形，并且还给出该点落后于波源O的相位差。2.18关于振动和波的关系，下面几句叙述中正确的是（）（A）有机械振动就一定有机械波（B）机械波的频率与波源的振动频率相等（C）机械波的波速与波源的振动速度相等答：（B）2.19下面叙述中正确的是（）（A）波动方程中的坐标原点一定要放在波源位置（B）机械振动一定能产生机械波（C）质点振动的周期与波的周期数值相等（D）振动的速度与波的传播速度大小相等答：（C）2.20在什么情况下，入射波与反射波在两种介质分界面上要产生相位π的跃变？在什么情况下则不会产生相位π的跃变？答：当波从波疏介质向波密介质入射时，反射波就要产生相位π的跃变；反之，则不会产生相位π的跃变。2.21在同一介质中，波源迎着观测者运动和观测者迎着波源以同样速率运动所形成的多普勒效应一定完全相同吗？答：不完全相同，观测者观测到的频率都比声源的频率高，但升高的幅度不一样。习题2.1一质点沿ｘ轴作简谐振动，振动方程为)t2cos(104312x（SI）。求：从t=0时刻起，到质点位置在x=-2cm处，且向ｘ轴正方向运动的最短时间间隔？解：用旋转矢量图求解，如图所示t=0时刻，质点的振动状态为：mtx02.0)30cos(04.0)32cos(04.0003sin08.0)32sin(204.00tdtdxv可见，t=0时质点在2xcm处，向x轴负方向运动。设t时刻质点第一次达到2xcm处，且向x轴正方向运动0v。则：min5.02mint（s）2.2一物体作简谐振动，其速度最大值smvm2103，其振幅mA2102。若t=0时，物体位于平衡位置且向ｘ轴的负方向运动。求：（1）振动周期T；（2）加速度的最大值ma；（3）振动方程的表达式。解：设物体的振动方程为)cos(tAx则)cos()sin(2tAatAv（1）由,Avm及smvm21032.1题图得物体的振动周期：3410310222222mvAT（s）（2）加速度最大值：)(105.4102)103(2222222smAvAamm（3）由t=0时,0,0vx得0)0sin(02.00)0cos(02.000vx解之得：2质点的振动方程为：)223cos(02.0txm2.3一弹簧振子作简谐振动，求：当位移为振幅的一半时，其动能与总能量的比。解：设振子振动方程为：)cos(tAx若t0时刻位移为振幅的一半，即21)cos(0t振动速度：)sin(0tAv振动动能：)(sin212102222tmAmvEk总能量：2221mAE则43cos1)(sin0202ttEEk2.4两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：(SI))5cos(1062121tx(SI))5sin(10222tx求：它们的合振动的振辐及初位相？解：原振动表达式可化为：2.4题图)5cos(102)5cos(10621222121txtx两振动反向利用旋转矢量法，如图所示，两振动的合振动为：)25cos(1042tx振动振幅为0.04m,初位相为22.5一弹簧振子沿ｘ轴作简谐振动。已知振动物体最大位移为mx4.0max，最大恢复力为NF8.0max，最大速度为smv8.0max，又知t＝０的初位移为0.2ｍ，且初速度与所选ｘ轴方向相反。求：（１）振动的能量；（２）振动的表达式。解：设振动方程为)cos(tAx（1）依题意，mA4.0，1max2mNAFk，sradAv2max，3振动能量)(16.0221JkAW（2）振动表达式)32cos(4.0tx（SI）2.6一简谐振动曲线如图2-18所示，问t=2s时刻质点位移和速度的大小多少？解：由图知T=4s，A=6cm，22Ts-1t=2s时刻质点在平衡位置，x=0，所以此时的速度为最大值，3Avcm/s2.7已知某简谐振动的振动曲线如图2-19所示，求此简谐振动的振动方程。解：由图知A=2cm图2-18习题2.6用图用旋转矢量图求解，如图所示，由图知：t=0时刻30质点的初相位为：3或32从t=0时刻到t=1时刻矢量转过的角度为343t所以34tt则振子振动方程为：3234cos2txcm2.8如图2-20所示，有一水平轻质弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F=10N向左作用于重物(不计与水平面的摩擦)，使之由平衡位置向左运动了0.05m，此撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求重物的运动方程。解：2mks-1力F对物体做功，使物体获得动能，左方最远位置时全部转化为势能221kAFs,A=0.204m设振动方程为)cos(tAx，则t=0时刻，x=-A1cos振动方程为tx2cos204.0m2.9频率为3000HZ的声波，以1560m/s的传播速度沿一波线传播，经过波线上的A点后，再经13cm而传至B点，求：（1）B点的振动比A点落后的时间；图2-19习题2.7用图图2-20习题2.8用图（2）波在A、B两点振动时的相位差是多少？（3）设波源作简谐振动，振幅为1mm，求振动速度的幅值，是否与波的传播速度相等？解：（1）300011Ts52.030001056.13um1200011056.113.03ABt比s（2）2521322ABAB（3）8.18230001.01scmAvmm/s2.10沿x轴正方向传播的平面简谐波在t=0，t=0.5s时刻的波形曲线如图2-21所示，波的周期T1s，求：(1)波动方程；(2)P点(x=2m)的振动方程。解：(1)由图可知，A=0.2，=4m；由于波的周期T1s，0.5s内波传播的距离不会超过半个波长，所以波速25.012um/s，T=2，=；t=0原点O位于平衡位置且向y轴负方向运动，所以原点O的初相o=+/2，因此波动方程为221cos2.0xtym(2)在波动方程中代入x=2m，就得P点的振动方程2cos2.0tym2.11用聚焦超声波的方法，可以在液体中产生强度达120kW/cm3的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为1g/cm3，声波为1500m/s，求这时液体质点振动的振幅。解：因为2221uAI，所以533751027.1105.11011012021052121uIAm2.12频率为500kHz，声强为1200W/m2，声速为1500m/s的超声波，在水中传播时，求其声压振幅为多少大气压？又位移振幅、加速度振幅各为多少？图2-21习题2.10图解：upuAIm2222121431061200150010122uIpmPa823321027.1)105002(1500101120022uIAm2382)105002(1027.1Aam51026.1m/s2