应用统计2-3

§2.3假设检验学习目标：假设检验是有别于参数估计的又一种重要的统计推断方法，但与区间估计又有一定的联系。通过对该方法的研究学习，进一步提高利用随机样本对总体进行统计推断的能力。ExitHypothesistesting问题提出:问题2糖厂用自动包装机装糖，每箱的标准重量规定为100kg，某日开工后，抽测了9箱，其重量如下（单位kg）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，问此包装机是否正常工作。问题1要检查纺织厂中纱的强力是否达到了标准，我们只能抽出一小部分纱，然后根据这部分纱的质量来推断整批纱的质量是否合格。上面两个问题具有一个共同特点，就是从样本出发，对总体的某种假设作出判断——假设是否成立。在包装机装糖一例中，用表示糖箱的平均重量，则问题即为对假设1000：H作出肯定或否定的回答。在统计上,对总体所作的种种假设称为统计假设,[引例]某厂有一批产品共200件，须经检验合格才能出厂，按照国家标准次品率不得超过1%，今在其中任意抽取5件，发现这个5件中有次品，问这批产品能否出厂？解：设这批产品的次品率为，则问题化为检验假设01.00：H是否成立。由样本出发来判断统计假设是否成立称为假设检验。现假定0H成立，看会出现什么结果，此时200件产品中最多有二件次品，任意抽取5件，那么5件中无次品的概率为StatisticalHypothesis件中没有件次品时。，当件中有一件次品时；，当件中有两件次品时；，当无次品200200200)(520052005200519952005198CCCCCCP显然95.052005198CCP（无次品）05.0（有次品）P上面的分析讨论中，我们基于一个基本原理——实际推断原理，同时用了反证法的思想.假设总体），（2~NX，nXXX,,,21为来自总体X的一个样本，其观察值为nxxx，，，21。一.2已知，检验假设000(：H已知)构造统计量nXU20（2-55）则当0H成立时，U服从标准正态分布，即)10(~，NU，对于给定的10（通常比较小），由}{UP（2-56）查标准正态分布表可求得。Statistic（2-56）表明事件“U”是一小概率事件，因此计算U的观察值nXu20，如果u，则表明小概率事件在一次试验中发生了，根据实际推断原理，应拒绝假设0H；如果u，则不怀疑0H的真实性（接受0H）。有时也称u为检验0H的拒绝域。y2/2/ox拒绝域接受域拒绝域Rejectionregion例2-20根据长期的经验和资料分析，某砖瓦厂所生产的砖的抗断强度X服从正态分布，方差21.12，今从该厂生产的一批砖中随机地抽取6块，测的抗断强度（单位：kg/cm2)如下：32.56,29.66,31.64,30.30,31.87,31.03，问这批砖的平均抗断强度可否认为是32.50kg/2cm)05.0(。解：依题意需检验假设50.320：H。由于方差21.12，故取统计量nXU20当0H成立时U服从标准正态分布,即），（10~NU，由此知0H的拒绝域为nX20，经计算13.316161iixX3621.150.3213.3120nXu对于给定的05.0，由（2-56）查正态分布表得96.1，可见96.13u，故拒绝0H，即这批砖的平均抗断强度不能认为是32.50kg/cm2。通常称为显著性水平，或简称水平。在假设检验中通常取0.05或0.10，一般不超过0.10。当0H为真时而加以拒绝,即“以真为假”,所犯错误的概率为，这种错误称为第一类错误。当0H不成立时却接受假设0H，即以假为真，这种错误称为第二类错误。用表示犯错误的概率。y2/2/ox拒绝域接受域拒绝域当0H不成立时却接受假设0H，即以假为真，这种错误称为第二类错误。用表示犯错误的概率。Significancelevel当0H不成立时却接受假设0H，即以假为真，这种错误称为第二类错误。用表示犯错误的概率。当0H不成立时却接受假设0H，即以假为真，这种错误称为第二类错误。用表示犯错误的概率。2/ox拒绝域接受域拒绝域当时，00:H)1,/(~/00nNnXU需要指出的是，在上述假设检验中，当拒绝假设00：H时，实际上接受了“0”，因此该检验问题通常叙述成：在显著性水平下，检验假设00：H；01：H（2-57）当检验统计量取某个区域中的值时，我们拒绝原假设0H，则称该区域为拒绝域，拒绝域的边界称为临界值（点）。也常说成“在显著性水平下，针对1H检验0H”，0H称为原假设，1H称为备择假设。形如(2-57)式中的备择假设1H表示可能大于0，也可能小于0,称为双边备择假设,而称形如(2-57)式的假设检验为双边假设检验。检验假设00：H；01：H（2-58）称为右边假设检验。检验假设00：H；01：H（2-59）称为左边假设检验。右边假设检验和左边假设检验统称为单边假设检验。引例中的检验即为单边假设检验，其原假设为01.00：H，备择假设为01.01：H。为了叙述方便，对双边假设检验只写原假设0H。(00：H；01：H)二.2未知，检验假设000(：H已知)取统计量nSXT20（2-60）则当0H成立时，)1(~ntT，对于给定的10,由}{TP（2-61）查)1(nt分布表可求得。（2-61）表明事件“T”是一小概率事件，因此计算T的观察值nSXt20，如果t，则表明小概率事件在一次试验中发生了，根据实际推断原理，应拒绝假设0H；如果t，则不怀疑0H的真实性（接受0H）。有时也称t为检验0H的拒绝域。问题：假设检验与EX的区间估计之间有何联系?因此对000(：H已知)的检验等价于下述检验“找出总体均值的置信区间，如果0不在其中，即nSX20，则拒绝假设0H，否则不怀疑0H的真实性”。由区间估计的讨论知，EX的置信度为1的置信区间是满足不等式nSX2的的集合。三.关于方差2的检验2020：H（20已知）我们从2的无偏2S着手，为求2S的分布，将2S稍加修改，即得统计量2022)1(Sn（2-62）由例2-2知，当2020：H成立时)1(~22n分布，因此对于给定的（10），令2/}{12P（2-63）2/}{22P（2-64）查21()n分布表可求得临界值12,，计算2的观测值20122022)()1(niiXxSn如果12或22则拒绝假设0H，否则接受0H。到目前为止，我们已得到了一系列关于一个正态总体参数检验的类型与方法，现将常用的几种列入表2-1，以便查阅。例2-22某车间生产铜丝，生产一向比较稳定，今从产品中随机抽取10根检查折断力，得数据如下：(单位kg)578，572，570，568，572，570，570，572，596，584，假定铜丝的折断力X服从正态分布，问是否可认为该车间生产的铜丝的折断力的方差为64？)05.0(。解：依题意需检验假设6420：H,2022)1(Sn)1(~2n,2.575101101iixX故取统计量经计算6.681)(1012iiXx65.10/)(2010122iiXx2/}{12P（2-63）对于给定的05.0,由2/}{22P（2-64）查)9(2分布表得，70.210.192,而221，故不能拒绝假设0H，即可认为该车间生产的铜丝的折断力的方差为64。例2-24食品厂用自动装罐机装食品罐头，规定标准重量为500克，且标准差不得超过8克，每天定时检查机器工作情况，现抽取了25罐，测得其平均重量为502X克，样本标准差为8克，假定罐头重量X服从正态分布，试问机器工作是否正常？)05.0(解：机器工作正常有两个标准，一是标准重量为500克，另一个是标准差不得超过8克，又知罐头重量)(~2，NX，因此问题化为如下两个假设检验：（1）2未知，检验假设00：H（5000）；（2）未知，检验假设）（：220202018H；20211：H。（1）取统计量255002SXT）（24~t（0H成立时）对给定的05.0,查)24(t表得064.2,由502X,样本标准差S8得064.225.1t，因此可认为罐头重量均值500克。（2）取2022)1(Sn)1(~2n(当202时)对于给定的05.0，由05.0}{22P查)24(2分布表得42.362，由S8，得242，从而42.362422，故不能拒绝假设01H。因为以上两个假设都被接受，所以可以认为机器工作正常。四.两个正态总体的假设检验设总体)(~211，NX，)(~222，NY，mXXX，，，21为来自总体X的样本；nYYY，，，21为来自总体Y的样本，且两样本相互独立。令niiYnY11，niiYYYnS122)(11则有以下几种检验问题：（1）当2221与均已知时，检验假设H0112：；（2）当1222但未知时，检验假设H0112：；（3）检验假设H021222：。miiXmX11，miiXXXmS122)(11对于检验问题（1），当2221与均已知时，1222mn也已知，且当H01成立时，统计量nmYXU2221~N（，）01即化为“一”的情形。对于给定的水平（01），（通常比较小），由PU{}查标准正态分布表可求得。如果u应拒绝假设H0；如果u，则不怀疑H0的真实性（接受H0）。对于检验问题（2），令nmnmmnSnSmYXTYX)2()1()1(22（2-67）可证当01H成立时)2(~nmtT。类似“二”的讨论.对于给定的10（通常比较小），由}{TP，查)2(nmt分布表可求得。因此计算T的观察值t，如果t，则表明小概率事件在一次试验中发生了,根据实际推断原理，应拒绝假设01H；如果t,则不怀疑01H的真实性（接受01H）。有时也称t为检验01H的拒绝域。对于检验问题（3），令22YXSSF（2-68）可证当02H成立时)11(~nmFF，。对于给定的（10）令2/}{1FP（2-69）2/}{2FP（2-70）由（2-69）、（2-70）式查)11(nmF，分布表可求得1、2，计算F的观察值，如果21FF或则拒绝02H，否则不怀疑02H的真实性。例5-25在漂白工艺中要考虑温度对针织品的断裂强力的影响，在70Co和80Co下分别作了八次试验，测得断裂强力数据如下：70Co：20.5,18.8,19.8,20.9,21.5,19.5,21.0,21.280Co：17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1记YX、分别表示70Co和80Co下的断裂强力，并假定)(~211，NX，)(~222，NY，试问温度对针织品的断裂强力有无影响)05.0(？解：依题意需检验假设2101：H，为此先考虑检验假设222102：H，这里8nm，经计算7/80.57/20.64.194.2022YXSSYX，，，于是由（2-68）式得07.180.5/20.6f，再由(2-70）,查)77(，