教案一元线性回归

[情境引入]前面我们学习了统计中分析大量数据的方法，如制作频率分布表和频率直方图，以及总体中平均值、极差、方差和标准差的应用，这些都能帮助我们可以很好地理解总体中的情况，但有时大量的数据之间也有一定的关系，那我们如何来分析数据与数据间的联系呢？[导入新知]，我们首先来看这几个问题(1)圆的面积S与该圆的半径r之间的关系(2)正方形面积S与边长x之间的关系(3)人的身高不能确定体重，但平均说来“身高者，体也重”．那么身高和体重具有什么关系？(4)类似的情况是否也有一定的关系？a蔬菜的产量y与所施的氮肥量xb某天冷饮销量y与当天最高气温t在这些相互的关系中，有些我们能够找到非常精确的式子来表达，而有些我们只能借助于常识判断它们之间有联系，那数学上把（1）（2）两种称为确定性关系，把(3)(4)两种非确定性关系称为相关关系。确定性关系非确定性关系相同点均是指两个变量的关系不同点函数相关关系像身高与体重的相关关系，我们也能判断出体重≈身高−105这个式子是如何得来的呢？在大量的身高与体重数据中，我们经分析可以发现两者有一个大体的标准体重的计算式，这个式子可以帮助我们预估某人的体重值，那为何是减去105这数呢？数学上正是通过回归分析来寻求一公式描述变量间的相关关系。在回归分析中最简单、最常用的为一元线性分析。例1某小卖部为了了解热茶销售量与最低气温之间的关系，随机统计并制作了某6天的热茶销售量与当天最低气温的对照表：最低气温261813104-1热茶销售量202434385064⑴观察表中数据的变化趋势．⑵在直角坐标系内作出图象．⑶观察图象中的点有什么特点？热茶销售量/杯010203040506070-5051015202530最低气温/℃在图中我们看出散点的分布如一条直线，那如何确定最贴近实际情况的直线呢，假设直线方程为y=bx+a，实际点与直线上的点的差别用方差表示为W(a,b)=(26b+a-20)2+(18b+a-24)2+(13b+a-34)2+(10b+a-38)2+(4b+a-50)2+(-b+a-64)2=1288b2+6a2+140ab-3820b-460a+10172若差别小，直线越接近实际，那如何求W（a，b）最小值呢？运用最小二乘法的基本原理，在含两个未知数的关系中，我们可以把其中一个看成常数，求另一个数的最小值，以此求算总体的最小值情况。a为常数，b=-（140a-3820）/2572b为常数，a=-（140b-460）/12联立方程解得a=57.6b=-1.65最佳直线的方程即为y=-1.65x+57.6这条直线就称为回归直线，用直线表达的两变量间的相关关系称为一元线性关系。为了简化计算的难度，数学家们直接总结了求a与b的公式由公式我们可以更加方便地求算回归直线方程。例2设对变量x，y有如下观察数据：x245678y254048506075试写出y对x的回归直线方程解：x（平均）=16/3y(平均)=149/3x(平均)*y（平均）=2384/9xiyi(总和)=1770xi2（总和）=194n=6得b=7.743a=8.371y=7.743x+8.371【小结】求回归直线方程的步骤：iiyx⑵计算xi与yi的积，求2ix⑶计算；⑹写出回归方程．⑷将结果代入公式求a；⑴计算平均数与；xy⑸用求b；xaybxbyaxnxyxnyxbniiniii,1221