数值分析模拟题

数值分析模拟题11.(10分)利用Gauss-Legendre求积公式11)7746.0(5556.0)0(8889.0)7746.0(5556.0)(fffdxxf导出求积分03()fxdx的三点高斯型求积公式。2.(15分)写出求解线性代数方程组123121322531272xxxxxxx的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。3.(15分)设矩阵2101103002013010A，（1）试计算||||A。（2）用Householder变换阵H将A相似约化为上Hessenberg阵，即HAH为上Hessenberg阵。4.(10分)求关于点集1,2,3,4的正交多项式012(),(),()xxx。5.(10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据1.02.03.04.00.81.51.82.0iixy数值分析模拟题26.(20分)给出数据点：013419156iixy（1）用012,,xxx构造二次Lagrange插值多项式2()Lx，并计算1.5x的近似值2(1.5)L。（2）用123,,xxx构造二次Newton插值多项式2()Nx，并计算1.5x的近似值2(1.5)N。（3）用事后误差估计方法估计2(1.5)L、2(1.5)N的误差。7．(10分)设矩阵A可逆，A为A的误差矩阵，证明：当11AA时，AA也可逆。8．(10分)设()fx四阶连续可导，0,0,1,2.ixxihi试建立如下数值微分公式''01212()2()()()fxfxfxfxh，并推导该公式的截断误差。数值分析模拟题31.若332101()1(1)(1)(1)122xxSxxaxbxcx是三次样条函数，则a=_______,b=______,c=______.2.以n+1个整数点k(k=0,1,2,…,n)为节点的Lagrange插值基函数为lk(x)(k=0,1,2,…,n)，则0()_____.nkkklx3.序列n=0ny满足递推关系：1101,(1,2,...)nnyyn，若0y有误差,这个计算过程是否稳定？____________.4.42()23,[1,2,3,4,5,6]_____.fxxxf若则5.下面Matlab程序所描述的数学表达式为__________.forj=1:nfori=1:my(i)=A(i,j)*x(j)+y(i)endend二、简单计算题(每小题6分，共18分)1.已知矩阵134321411A，求Givens变换阵G使GAGT为三对角阵。（不用计算GAGT）2.设3211A，求1().condA数值分析模拟题43.确定数值求积公式10311()()(1)434fxdxff的代数精度.三、(12分)已知矩阵020212021A，用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR.四、(10分)应用Lagrange插值基函数法，求满足下面插值条件的Hermite插值多项式。'000111iiixyy五、(10分)设()fx三阶连续可导，0,0,1,2.ixxihi试推导如下数值微分公式的截断误差0122()4()3()'()2fxfxfxfxh六、(10分)利用求积公式))23()0()23((31)(112fffdxxxf120xdx求定积分。七、(15分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据01.02.03.00.20.51.01.2iixy并求最小二乘拟合误差2。数值分析模拟题5八、(10分)(1)()()2011050,32031(),(0,1,2,).kkkAbxxaAxbkAxbaa已知,用迭代公式求解问取什么实数可使迭代收敛，且为何值时收敛最快？1.形如0()()nbkkakfxdxAfx的插值型求积公式，其代数精度至少可达______次，至多可达______次。2．以n+1个整数点k(k=1,2,…,n，n+1)为节点的Lagrange插值基函数为lk(x)(k=1,2,…,n,n+1)，则111(0)__________.nnkklk3.42()23,[1,2,3,4,5]_____.fxxxf若则4.下面Matlab程序所描述的数学表达式为________________________.forj=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);数值分析模拟题6endb(n)=b(n)/L(n,n);二、简单计算题(每小题6分，共18分)1.已知矩阵125221511A，求Householder变换阵H使HAH为三对角阵。（不用计算HAH）2.设121111A，求2().condA3.设211412223A，求A的LU分解。三、(12分)已知一组线性无关的向量123(1,1,1),(2,1,0),(0,1,1),.TTTuuu由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组A共轭向量组,100其中A=020001数值分析模拟题7四、(12分)应用Lagrange插值基函数法，求满足下面插值条件的Hermite插值多项式,并写出截断误差。'01201200iiixyy五、(12分)设线性方程组为12312312342132243xxxxxxxxx(1)写出用SOR迭代法求解此方程组的分量计算格式；(2)当取2时，SOR迭代法是否收敛，为什么？(3)当取1时，SOR迭代法是否收敛，为什么？六、(12分)已知高斯求积公式11()(0.57735)(0.57735)fxdxff将区间[0,1]二等分，用复化高斯求积法求定积分10xdx的近似值。七、(12分)用最小二乘法确定一条经过点(-1,0)的二次曲线，使之拟合下列数据0.01.02.03.02.02.83.64.8iixy数值分析模拟题80101000001(),(),,(),(),(),,()((),())((),())((),())((),())(),(),,()nnnnnnnHspanxxxxxxxxxxGxxxxGxxx八、(7分)设内积空间由所确定的Gram矩阵为证明：若为非奇异矩阵，则线性无关。1.已知x=62.1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试给出x的绝对误差界_______________.2.已知矩阵1221A，则A的奇异值为_________.3.设x和y的相对误差均为0.001，则xy的相对误差约为____________.4.424()53,,()_____.iifxxxxifx若=则数值分析模拟题95.下面Matlab程序所描述的数学表达式为________________________.a=[10,3,4,6];t=1/(x-1);n=length(a)();1:1:1*();yanforknytyakend二、(10分)设32()()fxxa。（1）写出解()0fx的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。三、(15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中21110,1101211Ab，（1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。四、(15分)给出数据点：012343961215iixy（1）用1234,,,xxxx构造三次Newton插值多项式3()Nx，并计算1.5x的近似值3(1.5)N。（2）用事后误差估计方法估计3(1.5)N的误差。数值分析模拟题10五、(15分)（1）设012{(),(),()}xxx是定义于[-1，1]上关于权函数2()xx的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()xxx，试求出2()x。（2）利用正交多项式组012{(),(),()}xxx，求()fxx在11[,]22上的二次最佳平方逼近多项式。六、(15分)设1()Px是()fx的以33(1),(1)33为插值节点的一次插值多项式，试由1()Px导出求积分20()Ifxdx的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。七、(15分)已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式(1)()()1),1,2,,nkkkiiiijjjiixxbaxina（（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当A是严格对角占优阵，12时此迭代格式收敛。