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第七章非线性方程求根练习题一、判断题*1x是方程432231xxxx的一个二重根(答案:正确)二、解答题1、对于方程2xex,(1)证明在区间[-1.9,-1]内有唯一实根(2)讨论迭代格式xk+1=exk-2x0Î(-1.9,-1)ìíïîï的收敛性如何?(3)写出求解该实根的牛顿迭代公式提示:e-1.9»0.1496e-1»0.36792、对于方程01xxe在0.5附近的根。(1)选取一个不动点迭代公式,判别其收敛性,并指出收敛阶。(2)给出求解该实根的牛顿迭代公式解:(1)01xxeÛ1xxe构造迭代式:10nxnxex,即取迭代函数()xxe首先,容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间([0.1,1])[0.1,1],并且当xÎ[0.1,1]时,恒有0.1|()|1xe依据不动点迭代法收敛定理,知该迭代公式收敛设*[0.1,1]x是其根的精确值,因为**()0xxe,故收敛为线性收敛,即收敛阶1p(2)记()1xfxxe牛顿迭代法形式:1()()nnnnfxxxfx即:101(1)1nnxnnnxnxexxxex3、应用牛顿法于方程2()10afxx,导出求a的迭代公式解:牛顿迭代法形式:1()()nnnnfxxxfx即:21312nnnnaxxxax,即312nnnnxaxxxa,即3132nnnaxxxa如果1a,可取01x,如果1a,可取0xa4、对于非线性证明方程02lnxx(1)证明在区间(1,)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.(2)写出Newton迭代求解该根的迭代公式解:(1)记()ln2fxxx,显然()fx处处可微(1)10f,lim()xfx所以,在区间(1,)内至少存在一个实根另外,由于1()10,(1,)fxxx所以,在区间(1,)内有且仅有一个实根(3)1ln30f,(4)2ln40f可见根(3,4)x(2)牛顿迭代法形式:1()()nnnnfxxxfx即:1ln211nnnnnxxxxx,即21ln21nnnnnnnxxxxxxx即1ln1nnnnnxxxxx考虑取04x5、为数值求得方程042xx的正根*x,可建立如下迭代格式,2,1,41nxxnn,试利用迭代法的收敛理论证明对于00x,该迭代序列收敛,且满足.*limxxnn解:记()4,0xxx显然11()1424xx所以,对于00x,迭代式1()kkxx均收敛到*x
本文标题:数值分析第7章试题-王志豪
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