数列与三角函数练习题难题

［例1］已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴2213)2(qqbb=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1［例2］设An为数列{an}的前n项和，An=23(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{an}的通项公式；(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;解：(1)由An=23(an－1)，可知An+1=23(an+1－1)，∴an+1－an=23(an+1－an)，即nnaa1=3，而a1=A1=23(a1－1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n.(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C12n·42n－1(－1)+…+C122nn·4·(－1)+(－1)2n］=4n+3，∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4－1)2n=42n+C12n·42n－1·(－1)+…+C122nn·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1)，∴32n{bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.［例3］数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+an·an+1－nan+12=0，又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1.(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列{bn}的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由..解：(1）可解得11nnaann，从而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n－1.(3)Tn－Sn=2n－n2－1，验证可知，n=1时，T1=S1，n=2时T2＜S2；n=3时，T3＜S3;n=4时，T4＜S4；n=5时，T5＞S5；n=6时T6＞S6.猜想当n≥5时，Tn＞Sn，即2n＞n2+1可用数学归纳法证明(略）.［例4］数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;(3)设bn=)12(1nan(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞32m成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}d=1414aa=－2,∴an=10－2n.(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，故Sn=540951922nnnnnn(3)bn=)111(21)22(1)12(1nnnnann)1(2)]111()3121()211[(2121nnnnbbbTnn；要使Tn＞32m总成立，需32m＜T1=41成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.［例5］已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn；(2)设数列{an}的通项an=loga(1+nb1)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得：1452)110(1010111dbb解得b1=1,d=3,∴bn=3n－2.(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+…+loga(1+231n)=loga［(1+1)(1+41)…(1+231n)］，31logabn+1=loga313n.因此要比较Sn与31logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+41)…(1+231n)与313n的大小，取n=1时，有(1+1)＞3113取n=2时，有(1+1)(1+41)＞3123…由此推测(1+1)(1+41)…(1+231n)＞313n①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a＞1时，Sn＞31logabn+1，②当0＜a＜1时，Sn＜31logabn+1，③［例1］已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos2CA，f(x)=cosB(CAcos1cos1).(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域.解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°,3421221)cos()cos(2cos2cos2coscoscoscos21)(22xxxxCACACACACACAxf∵0°≤|2CA|＜60°，∴x=cos2CA∈(21，1]又4x2－3≠0，∴x≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］.(2)设x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=342342211222xxxx=)34)(34()34)((222212121xxxxxx，若x1，x2∈(23,21)，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(23，1］，则4x12－3＞0.4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(21,23)和(23，1]上都是减函数.(3)由(2)知，f(x)＜f(21)=－21或f(x)≥f(1)=2.故f(x)的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞).[例2]在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则2tan2tan32tan2tanCACA的值为__________..解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，.32tan2tan32tan2tan)2tan2tan1(32tan2tan,3)2tan(,32CACACACACACA故3、已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.BCAcos2cos1cos1，求cos2CA的值.解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°.设α=2CA，则A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，,43coscossin43cos41cossin23cos211sin23cos211)60cos(1)60cos(1cos1cos1222CA所以依题设条件有,cos243coscos2B.2243coscos,21cos2B整理得42cos2α+2cosα－32=0(M)(2cosα－2)(22cosα+3)=0，∵22cosα+3≠0，∴2cosα－2=0.从而得cos222CA.解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°22cos1cos1,2260cos2CA①，把①式化为cosA+cosC=－22cosAcosC②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos2cos2CACACACA③，将cos2CA=cos60°=21，cos(A+C)=－21代入③式得：)cos(2222cosCACA④将cos(A－C)=2cos2(2CA)－1代入④：42cos2(2CA)+2cos2CA－32=0，(*)，.222cos:,022cos2,032cos22,0)32cos22)(222cos2(CACACACACA从而得例4、在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－34，sinB=54，则cos2(B+C)=__________.解析：∵A为最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.∵cos(2A+C)=－54，∴sin(2A+C)=53.∵C为最大角，∴B为锐角，又sinB=54.故cosB=53.即sin(A+C)=54，cos(A+C)=－53.∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－2524，∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1=625527.5、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积：S=S△ABD+S△CDB=21·AB·ADsinA+21·BC·CD·sinC∵A+C=180°，∴sinA=sinC故S=21(AB·AD+BC·CD)sinA=21(2×4+6×4)sinA=16sinA由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－21，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=83.6、如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即I=k·2sinr，其中k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：R=rcosθ，由此得：20,cos1Rr，RRhRkIRkRkIRkRkrkI22tan,33sin,392)32()()sin1)(sin1(sin2)(2)cos(sincossinsin232222222222222此时时成立等号在由此得7、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，27cos22sin42ACB.(1)求角A的度数；(2)若a=3，b+c=3，求b和c的值..1221:232:3,3.3)(21221cos2cos:)2(60,1800,21cos,01cos4cos45cos4)cos1(4,271cos2)]cos(1[2:,180272cos2sin4)1(:.222222222222cbcbbccbbccbabcacbbcacbAbcacbAAAAAAAAACBCBAACB或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解8、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又∠A－∠C=2，试求∠A、∠B、∠C的值解：由a、b、3c成等比数列，得：b2=3ac∴sin2B=3sinC·sinA=3(－21)［cos(A+C)－cos(A－C)］∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－23［cos(A+C)－cos2］即1－cos2(A+C)=－23cos(A+C)，解得cos(A+C)=－21.∵0＜A+C＜π，∴A+C=32π.又A－C=2∴A=127π，B=3，C=12.9、在正三角形ABC的边AB、AC上分