数列专题数列与不等式(本人)

数列专题——数列与不等式数列与不等式数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养．【示例1】►(2011·浙江)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较1a2＋1a22＋1a23＋…＋1a2n与1a1的大小．解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可知1a22＝1a1·1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2.因为d≠0，所以d＝a1＝a.故通项公式an＝na.(2)记Tn＝1a2＋1a22＋…＋1a2n，因为a2n＝2na，所以Tn＝1a12＋122＋…＋12n＝1a·121－12n1－12＝1a1－12n，从而，当a＞0时，Tn＜1a1；当a＜0时，Tn＞1a1.本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力．【训练】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn＜1.(1)解由已知得2Sn＝3an－3，2Sn－1＝3an－1－3(n≥2)．故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)．故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3，∴an＝3n.(2)证明∵bn＝1nn＋1＝1n－1n＋1.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＜1.数列综合以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大．【示例2】►(2011·天津)已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－1n－12，n∈N*，且a1＝2.(1)求a2，a3的值；(2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列；(3)设Sn为{an}的前n项和，证明S1a1＋S2a2＋…＋S2n－1a2n－1＋S2na2n≤n－13(n∈N*)．(1)解由bn＝3＋－1n－12，n∈N*，可得bn＝2，n为奇数，1，n为偶数.又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，当n＝1时，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－32；当n＝2时，2a2＋a3＝5，可得a3＝8.(2)证明对任意n∈N*，a2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1，①2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.②②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1，于是cn＋1cn＝4.所以{cn}是等比数列．(3)证明a1＝2，由(2)知，当k∈N*且k≥2时，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×21－4k－11－4＝22k－1，故对任意k∈N*，a2k－1＝22k－1.由①得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1，所以a2k＝12－22k－1，k∈N*，因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝k2.于是，S2k－1＝S2k－a2k＝k－12＋22k－1.故S2k－1a2k－1＋S2ka2k＝k－12＋22k－122k－1＋k212－22k－1＝k－1＋22k22k－k22k－1＝1－14k－k4k4k－1.所以，对任意n∈N*.S1a1＋S2a2＋…＋S2n－1a2n－1＋S2na2n＝S1a1＋S2a2＋S3a3＋S4a4＋…＋S2n－1a2n－1＋S2na2n＝1－14－112＋1－142－24242－1＋…＋1－14n－n4n4n－1＝n－14＋112－142＋24242－1－…－14n＋n4n4n－1≤n－14＋112＝n－13.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大．在数列na中，12a，1431nnaan，n*N．（Ⅰ）证明数列nan是等比数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；（Ⅲ）证明不等式14nnSS≤，对任意n*N皆成立．（Ⅰ）证明：由题设1431nnaan，得1(1)4()nnanan，n*N．又111a，所以数列nan是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14nnan，于是数列na的通项公式为14nnan．所以数列na的前n项和41(1)32nnnnS．（Ⅲ）证明：对任意的n*N，1141(1)(2)41(1)443232nnnnnnnnSS21(34)02nn≤．所以不等式14nnSS≤，对任意n*N皆成立．2.设数列{}na的前n项和为nS，)1(2,11nnSaann。（1）求证：数列{}na为等差数列，并分别求出na、nS的表达式；（2）设数列}1{1nnaa的前n项和为nT，求证：4151nT；（3）是否存在自然数n,使得2009)1(322321nnSSSSn？若存在，求出n的值；若不存在,请说明理由。又易知nT单调递增，故nT511T，得4151nT(3)由)1(2nnnaSnn得12nnSn22321)1()12(531)1(32nnnnSSSSn=12n……13分由200912n，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005.1211111320.933378823nnnnnnnnnnnnnnnaaanSnaSaSSaabbnaaTnT已知数列中，，，其前项和为，且当时，求证：数列是等比数列；求数列的通项公式；令，记数列的前项和为，三、数列与不等式综合证明对于任意的正问整数，都有例题3成立．112111111112121112SS(2)1040011414.122341nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSaSSSSSSSSSSSnSSnSSSnaSSaSSa证明：当时，，所以．又由，，可推知对一所以数列是等比数切正整数均有，由知等比数列的首项为，公比为，所以当时，列，又，所以．解析：21.342nnn2122212111121122123493393434.343343414193338318373488241413nnnnnnnnnnnnnnnnnaabaaabaanbTbn证明：当时，，此时又，所以，，2212112222121113411241414141311()8414111717().4141841837880nnnnnnnnnnnnnnnnbTbbbnbTTTnT当时，，又因为对任意所以对于任意的正整数的正整数都有，所以单调递增，都有，即，成立．11*1121234*111*121213111()(2)2(2)11110(1)(1)(1)(23)31nnnnnnnnnnnnnbbbbaaabnnbbbbbbbabnnabnaaaNNN数列满足，，若数列满足，且．求，，及；求证：且；求证：例4．2341111*1221121112111113715211211122111()12(2)11111111121.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbabnnbbbaabbbbbbbbbaaaabbbbbbN，，，由，所以证明：因为且，所:以，以析所解，*111(2)nnnnabnnabN且．1212123122111231341121111212121112(1)(1)(1)111111123211122()3111131()132111(1)(1nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabbaabaaaaaabbbababbbbbbbbaa证明：由知，而，121111)(1)2()nnabbb．111112123341112122121212112(),2121212111132111110(1)(11111112[()()()]212121212121111)(1).512()32313nkkkkkkkkknnnnaaak当，所以时，所以