数列复习教学中的重难疑热点综述

第1页共8页数列复习教学中的重难疑热点综述210008南京外国语学校李平龙数列是高中数学的重点内容，是现代信息文明的基石.传统教材是将数列内容安排在高中二年级与数学归纳法进行同步教学的,教学效果较好；而现行教材不仅将数列与数学归纳法割裂,而且将数列内容提前至高中一年级的上学期进行教学,限于当时高中生的数学知识匮乏、数学能力低下，即使是相同的教学内容学习的效果也大相径庭（即将实施的高中数学新课标也改变了这一不合理的作法）.然而，高考命题并未关注到教材安排上的这一变化而改变数列在高考中的地位与难度，纵观近两年的全国卷及各省市自主命制的高考试卷，每卷必有数列解答题且半数以上的试题处在压卷题的位置.可见,数列内容复习的好坏,直接决定着未来数学高考的成败.本文将透析数列复习中的重、难、疑、热等四点，旨在揭露本质，把握规律.1重点——等差与等比数列的基础知识等差数列与等比数列是学生最先熟悉的两个基本数列，它们是一切数列问题的出发点与归宿，其产生、演变与深化的过程中蕴藏着丰富的数学思想方法，复习中应充分体现过程胜于结果的原则.1．1基础知识从第二项起每一项与前一项的差是同一个常数，这是等差数列的本质，其符号语言：)2,(*1nNndaann或)(*112Nnaaaannnn则是学生逻辑思维的基础，从)(*112Nnaaaannnn中虽未看到常数，但却深信“差等”的事实，不能不说是抽象符号的神奇；而由定义出发产生的等差数列的通项公式却隐藏着研究数列问题的诸多方法：归纳法、迭加法、迭乘法、迭代法，为学习一般数列提供了知识保障；等差数列前n和公式的推导过程中使用了加两次（倒加法）的思想方法，其几何特征类似于梯形的面积公式.1．2基本思维横向类比思维可轻松地掌握等比数列相关知识及其产生过程中的数学方法；若能感悟出两种数列间类比的“规则”，便可从等差数列相关知识出发经大胆猜想发现等比数列可能具有的相应知识.如上海高考题:“在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n〈19，n是正整数).类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=0，则有等式”便如此.而逆向探索思维则可深化两数列的基础知识，下仅以等差数列为例说明之：从等差数列的通项公式出发逆向探索发现，若an=an+b，则数列{an}是等差数列；可见，等差数列就是一次函数或常函数.从前n项和公式出发探索发现,若数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn,则数列{an}是等差数列；若数列{an}的前n项和2)(1nnaanS，则数列{an}是等差数列.前者不仅告诉我们等差数列与二次函数密切相关,而且教会我们怎样由和项去求通项；而后者则结出了处理涉及和项与通项的递推公式的一般思维方法，详见后文.1．3基本方法第2页共8页因等差(比)数列是由首项与公差(比)确定的,故称首项与公差(比)为等差(比)数列的基本量；因此，大凡涉及等差(比)数列的数学问题,我们总希望通过等差(比)数列的基础知识并结合条件去求出首项与公差(比)、或它们间关系，从而达到解决问题之目的，这种方法就是等差（比）数列特有的基本量方法；简言之,就是用基本量去统一条件与结论而达到解决等差（比）数列相关问题的方法.例1已知正项等比数列na的公比为q，且16212aa，求使niiniiaa111成立的正整数n的集合.分析:本题实为解关于n的不等式.用基本量去统一条件得：a1q7=1；一般地,视不等式左边为首项是a1、公比是q的等比数列的前n项和，右边为首项是11a、公比是q1的等比数列的前n项和，经讨论后可获通法指引下的繁解；若视不等式右边为首项是na1、公比是q的等比数列的前n项和，则繁解已被简化；而灵活应用等比数列的基础知识，可将原不等式转化为：niinniiqaqa111111,由此可获通法指引下的优美解:因为011niiq,所以原不等式同解于naa11，即115nq.故原不等式的解集,当q1时为},15|{*Nnnn；当0q1时为},15|{*Nnnn；当q=1时为.说明:基本量方法必须与等差(比)数列的性质密切配合,只有达到灵活应用的程度,才能发挥无穷的活力.又如在等差数列{an}中，p、q是相异的正整数,若Sp=q，Sq=p，求Sp+q的值,若呆板地执行基本法方法,则必费时费力甚至无功而返.2热点——数列求和与求通项通过两个基本数列的学习，在化归与转化中认识更多的数列，是数列教学的隐性目标.而在数列的学习中最能充分体现知识应用的没过于数列求和与求通项了,它们也恰好构成了数列研究的热点.2.1数列求和这里系指求数列的有限的前n项之和.若为等差(比)数列,则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法.一般地,当数列的通项为分式时,常考虑用“裂项相消法”去求前n项和；当数列的通项恰好是等差数列与等比数列相应项的积时，则必用“错位相减法”，此乃推导等比数列求和公式时的数学方法；当通项可分解成等差或等比数列相应项的代数和时，一般选用“分组求和法”.通过数列求和的复习教学,务必让学生把握求和的基本思维途径:抓通项—思变形—选方法.第3页共8页例2已知等差数列na的前n项和为Sn，且)()21(*2NnaSnn①,令nnnSb)1(，试求数列{bn}的前n项的和Tn.分析:应先求数列{bn}的通项公式.为此,在①中令n=1,2可知,a1=1,a2=3或-1；若a2=-1，则由等差数列知a3=-3，从而S3=1+(-1)+(-3)=-3，此与条件0)21(2nnaS矛盾.故有a2=3,进而an=2n-1,2)1()1(nSbnnnn.若n=2k,则])2()12([)43()21(222222kkTn=2)1(2)21(22)12(4321nnkkkk；若n=2k-1，则2)1()1(2)2)(1(211nnnnnbTTnnn.综上所述,2)1()1(nnTnn.说明:奇偶分析是一种特殊而重要的分组求和方法；本例除用赋值法确定等差数列外,还可选用等差数列的通项公式、前n项和公式等多种途径求解.2.2数列通项已知数列的前几项,写出它的一个通项公式时,通常用观察法.我们有时未必能观察出它的通项公式,这时不妨尝试观察它们任意相邻两项间的相依关系,如对于数列:1,3,7,13,21,31,…，若不能直接发现an=n(n-1)+1,则通过观察出递推关系an-an-1=2(n-1),再用迭加或迭代法便可求出通项公式.总之,观察是一切能力的基础,在数列学习中显得尤其珍贵.已知数列{an}的前n项和Sn,求an,用公式法,即)2(1nssannn.具体解题时需看清问题的本质并注意分类讨论.例3设数列{an}是等差数列，a1=1，Sn是它的前n项和；数列{bn}是公比为1/2的等比数列,Tn是它的前n项和；已知a4=b2，S6=2T2-1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足：对一切正整数数n有12211nnnacbcbcb，求数列{cn}的前n项和Pn.分析：第（1）小题只要列出关于基本量的方程组，便可求得b1=4，d=1/3，从而3)21(),2(31nnnbna；而第（2）小题关键在于求cn,其实质是已知数列{bncn}的前n项和，求数列{bncn}的通项，这是对已知和项求通项的本质的把握.∵12211nnnacbcbcb①，∴nnnacbcbcb112211②，①-②得3231,3131nnnnnnnbcaacb③，第4页共8页∴)12(121)222(3131221nnnncccP.说明：此乃学习过程中最为典型的错解.究其原因在于用n-1去替换①式中的n得②式后，这时②式中的n对1无定义，故②式中n不小于2，从而③中的cn仅对2n有定义，恰恰③式也不适合真实的c1=1/3，进而导致解题出错；即使c1适合③式，作为完整的解题过程也应予以说明.本例的正确结论为：当n=1时,Pn=1/3；当n2时,)12(611nnP.已知递推公式求通项公式,常考虑用转化法.一个数列可以不是等差或等比数列,但通过代数变行或变换,其倒数、平方产生的相应数列却可能是等差数列，其相应项加1后产生的数列可能恰好是等比数列…….通过学习积累对递推公式转换的经验,乃至发现较一般的解题模型显得尤为重要.在此,作为线性递推公式:)1,0,0(1pqpqpaann,便是我们学习与积累的基点.由)(112nnnnaapaa知{an+1-an}是等比数列,从而可用迭加法求通项公式；由qpqapqqpapqpaannnn222)2(1)1()(qpqqpapqpqqpapnn23332)3()(=…ppqapqqpqpapnnnnnn1)1(1111211)1(，通过有限次迭代便产生一个对于所有正整数都成立的无穷的结论；将qpaann1用待定系数法变形为)1(11pqappqann，则}1{pqan是公比为p的等比数列，问题也可迎刃而解.总之,线性递推既给我们微观上提供了转换的三种基本方法,又为我们宏观上把握一类问题提供了一般规律.例4数列{an}中a1=1,且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….求数列{an}的通项公式.分析:由原递推公式消去奇数项,可得偶数项间的递推公式:a2k=a2k-2+(-1)k+3k-1；至此，用迭加或迭代法易得偶数项的通项公式为：1])1(3[212kkka，代入a2k+1=a2k+3k得，)1(1])1(3[21112kakkk，它也适合a1=1；从而数列{an}的通项公式是n的分段函数.说明:本例属数列中基本方法与基本模式的简单应用.例5由原点O向曲线y=f(x)=x3-3ax2+bx(a是正常数)引切线,切于不同于点O的点P1(x1,y1),再由P1引此曲线的切线,切于不同于P1的点P2(x2,y2),如此继续下去……，得到点列{Pn(xn,yn)}.(1)求xn与xn+1的关系；(2)求证：当n为正偶数时，xn〈a；当n为正奇数时，xn〉a.解:(1)设过Pn的切线与曲线y=f（x）相切于（x0，y0），则切线方程为第5页共8页))((000xxxfyy，因点Pn上此切线上，故))((000xxxfyynn，又nnnnbxaxxybxaxxy230203003,3，所以))(63()3()3(00200203023xxbaxxbxaxxbxaxxnnnn,整理得：0)32()(020axxxxnn，解得，nxx0或axxn23210.故由题设知,axxnn23211.(2)题(1)中的递推公式可变形成)(211axaxnn,可见{xn-a}是公比为21的等比数列,由题意可令x0=0,则xn-a=(-a)n)21(,即xn=[1-n)21(]a.从而,当n为正偶数时，∵n)21(0,∴xn〈a；当n为正奇数时，∵n)21(0,∴xn〉a.说明:本例关键在于寻找相邻两次离散现象间的相依关系.如果你不能像本例那样直接求出递推公式，那么不妨尝试由x1去推x2，x2去推x3…，进而发现一般方法与结论.3疑点——和项与通项间的递推关系涉及和项与通项间的递推关系问题，常成为学生学习的疑点或盲点.一方面,他们未能牢固掌握解决此类问题的一般的思维方式:即首先利用公式)2(1nssannn从递推式0),(nnsaf中消去na或ns使递推式得以简化，再思考能否从简化