数列极限数学归纳法等差等比数列综合问题教案

亿库教育网数列、极限、数学归纳法·等差、等比数列综合问题·教案教学目标1．熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题．2．突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．教学重点与难点1．用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识、从本质上掌握公式．2．解决应用问题时，分清是等差数列问题，还是等比数列问题；分清an和Sn，数清项数n．教学过程设计（一）复习师：这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、数比数列的综合问题．（请学生叙述公式的内容并写在黑板上）生甲：等差、等比数列的通项公式分别是an=a1+（n-1）d，an=a1qn-1．生丙：等比数列的前n项和公式要分成q=1和q≠1两种情况来表示，即生丁：如果m，n，p，q都是自然数，当m+n=p+q时，那么在等差数列中有：am+an=ap+aq，在等比数列中有：am·an=ap·aq．师；在上述公式中，涉及到a1，n，d（q），an，Sn五个量，运用方程思想，已知其中三个量，就可以求另外两个量．（二）等差、等比数列中方程思想的应用例1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．师：这是一道等差、等比数列的综合问题，同学们应认真审题，然后做出分析．生甲：题目中给出了四个条件，可设这四个数分别为x，y，m，n，然后列出四个方程．解此四元二次方程组即可求得四个数．生乙；设四个未知数太麻烦，可以由前三个数成等差数列，设前三个数分别为a-d，a，a+d，第四个数为亿库教育网（a-d），列出两个方程：解此方程组即可求出四个数．师：看来解决这个问题的最好方法就是列方程组了，要使列出的方程组简单易解，关键在于如何设未知数．aq，这样列出的方程组为师：方程组②和③都是二元二次方程组，运算量差不多，设未知数的思路也是异曲同工的，都是直接应用已知条件．如果大家换个角度想问题，设未知数还会有什么方法？教师可将学生说的方法列在黑板上，以便学生进行比较．生：如果设这四个数为x，y，12-y，16-x，那么列出的方程组为学生的积极性已经调动了起来，大家纷纷表示第四种设、列方法是最理想的．解法如下：解：设四个数分别为x，y，12-y，16-x，则由（1）得：x=3y-12（3）代入（2）得：y2-13y+36=0．解得y=4或y=9，分别代入（3）得：x=0或x=15．所以所求四个数分别为：0，4，8，16或15，9，3，1．师：运用方程思想解决等差、等比数列问题，可以分成三个步骤：①设未知数；②列方程；③解方程．此题通过已知条件和未知数x，y之间的关系，间接设第三个数为12-y，第四个数为16-x，由于未知数设的巧妙，从而减少了运算量．（三）抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键例2已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an=logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．师：这道题涉及到两个数列{an}和{bn}之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究an，bn的性质，应该先抓住数列中的什么量？生：由于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，所以应该先抓住基本量a1，d，q，由已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，可以列出方程组解出d，q，贝an，bn就确定了．亿库教育网师：如果an和bn确定了，那么an=logabn+b就可以转化成含有a，b，n的方程，如何判断a，b是否存在呢？生：如果通过含有n，a，b的方程解出a和b，那么就可以说明a，b存在；如果解不出a和b，那么解不来的原因也就是a和b不存在的理由．师：分析得很好．让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为解得：d=5，q=6．所以an=5n-4．而bn=6n-1，若存在常数a，b，使得对一切自然数n，都有an=logabn+b成立，即5n-4=loga6n-1+b，即5n-4=（n-1）loga6n-1+b，即（loga6-5）n+（b-loga6+4）=0．对任意n∈N+都成立．有an=logabn+b成立．师：本题的关键是抓住基本量：首项a1和公差d，公比q，因为这样就可以求出an和bn的表达式．an和bn确定了，其它的问题就可以迎刃而解．（四）运用等差数列和等比数列的相关知识解决应用问题例3某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年，第二年，第三年分别比原计划产值多10万元，10万元，11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值．师：对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解．请学生读题，并逐句分析已知条件．生甲：由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S3=300，即如果设原计划三年的产值分别为：x-d，x，x+d．则x-d+x+x+d=300．生乙：由产值增长的百分率相同，可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x-d+10，x+10，x+d+11．则（x+10）2=（x-d+10）（x+d+11）．师：甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x，d．（板书如下）解：设原计划三年的产值为x-d，x，x+d，则实际三年产值为x-d+10，x+10，x-d+11．由①得，x=100．代入②得d=10．x-d=90，x+d=110．答：原计划三年的产值分别为90万元，100万元，110万元．师：等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清an和Sn，抓住基本量a1，d（q），再调用有关的概念和公式求解．（五）准确辨别数学符号，提高分析问题和解决问题的能力亿库教育网例4已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{akn}是公比为q的等比数列，且k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+…+kn的值．师：题目中数列{akn}与{an}有什么关系？生：数列{akn}中的项是以数列{an}中抽出的部分项．师：由已知条件k1=1，k2=5，k3=17可以知道等差数列{an}中的哪些项成等比数列？生：a1，a5，a17，成等比数列．师：要求的k1+k2+k3+…+kn的值，实质上求的是什么？生：实质上就是求数列{kn}的前n项和．师：要求{kn}的前n项和，就要确定数列{kn}的通项公式．应该从哪儿入手？师：a5，a1要由等差数列{an}的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d和a1了．生：如果设等差数列{an}的公差为d，那么a5=a1+4d，a17=a1+16d，由于a1，a5，a17，成等比数列，则有（a1+4d）2=a1（a1+16d），从而an应该可以求出了．师：请同学们把刚才的分析整理出来．（教师板书如下）解：设数列{an}的公差为d，d≠0，则a5=a1+4d，a17=a1+16d．因a1，a5，a17，成等比数列，则（a1+4d）2=a1（a1+16d），即2d2=a1d．又d≠0，则a1=2d．所以an=a1+（n-1）d=2d+（n-1）d=（n+1）d．又akn=（kn+1）d，则2d·3n-1=（kn+1）d．由d≠0，知kn=2·3n-1-1（n∈N+）．因此k1+k2+k3+…+kn=2·30-1+2·31-1+2·32-1+…+2·3n-1-1．=2（30+31+32+…+3n-1）-n=3n-n-1．师：此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的．（六）小结等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d（q），充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒．（七）补充作业1公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是[]．A．1B．2C．3D．42若等差数列{an}的首项为a1=1，等比数列{bn}，把这两个数列对应项相加所得的新数列{an+bn}的前三亿库教育网项为3，12，23，则{an}的公差与{bn}的公比之和为[]．A．-5B．7C．9D．143已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，4在等差数列{an}中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25=114，求成等比数列的这三个数．5设数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是首项为1的等比数列{cn}的通项公式与前n项和公式．6某工厂四年来的产量，第一年到第三年每年增长的数量相同，这三年总产量为1500吨，第二年到第四年每年增长的百分数相同，这三年总产量为1820吨，求这四年每年的产量各是多少吨？作业答案或提示1．C．2．C．解得a1=38，d1=0．或a2=2，d2=4．所以三个数为38，38，38，或2，14，96．5．设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．则6．设前三年产量依次为a-d，a，a+d，则a-d+a+a+d=1500，解解得d=100．所以四年产量依次为400，500，600，720吨．课堂教学设计说明数学教学不仅要使学生获得数学知识，更重要的是通过知识的获得过程来发展学生的思维能力．这节课是与前面所学知识密切联系的，侧重于等差、等比数列有关知识的综合运用，这就要求教师准确把各个知识点，因为知识点是获取知识的量的基本保证，在此基础上帮助学生建立良好的知识结构．这是学生进行创造性思维的源泉，只有系统的掌握知识，才能培养学生提高理解和运用知识解决问题的能力．数学思想是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，数学思想蕴含在数学概念，数学规律和数学方法之中．因此，本课从方程思想的运用入手，意在充分调动学生的学习积极性、使学生学会观察、分析、比较、联想等思维方法，加深对等差、等比数列更有关知识的领会，掌握解决问题的基本方法．在此基础上进行新探索，使学生的思维向深层次发展．学会把应用问题抽象成数学问题；把复杂问题转化成简单问题，充分体会到数学思想方法在解决问题中威力