数列求和教学教案

1数列求和一、分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例1：Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)解法：按n为奇偶数进行分组，连续两项为一组。当n为奇数时：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)=2×21n+(-2n+1)=-n当n为偶数时：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)]=2×2n=n∴Sn=练习：求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan二、错位相减：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{2n·bn}的前n项和，其中{2n}、{bn}分别是等差数列和等比数列。例2：求数列2,2×22,3×23,4×24,…,n×2n,…的前n项和。解：Sn=2+2×22+3×23+4×24+…+n×2n∴2Sn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1∴(1-2)Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=1122212nnn1122()nnSn-n(n为奇数)n（n为偶数）2练习：求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………………………………①14322226242221nnnS………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn∴1224nnnS三、倒序相加法：如果一个数列中，与首末两端“等距离”的两项之和(或“系数”之和)等于首末两项之和（或等于首末两项“系数”之和），那么就可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加，从而可求出数列的前n和．例3已知函数11()31xfx，数列na中，123123(),(),()afafafnnn，…()kkafn，…，11(),()nnnnafafnn，求数列{}na的前n项和nS．解：1111()(1)3131xxfxfx=1111313113xxx，123()()()nSfffnnn+1()nfn+()nfn，设1231()()()()nSffffnnnn把上式右边倒序得：1221()()()()nnSffffnnnn两式相加得11222[()()][()()]nnSffffnnnn+…+11[()()]nffnn=1nn，∴2nS∴1()(1)(1)22nnnSSffnn．3四、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：例4：求数列311，421，531，…，)2(1nn，…的前n项和S解：∵)2(1nn=211(21nn）Sn=)211()4121()311(21nn=)2111211(21nn=42122143nn例5求数列1{}1nn的前n项和nS．解：因为1nann，所以nS=(21)+(32)+(43)+…+(1nn)=11n．例6.已知数列{}na的前n项和nS满足：。20nnSSnn，求数列11nnaa的前n项和nT．解：由已知得()(1)0nnSnSn，所以0nSn，即2nSn．1111naS当时,．当n≥2时,221(1)nnnaSSnn=2n-1．所以，数列{}na的通项公式为21nan．因为11nnaa1(21)(21)nn111()22121nn所以，nT11111(1)()23235111()22121nn=11(1)22121nnn．解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。4五、通项分析法：通过对数列的通项进行分析、整理，从中发现数列求和的方法，这也是求数列前n项和的一种基本方法．例7已知数列{}na中，21231,121,12221,aaa23241222221,a．求数列{}na的前n项和nS．解：数列{}na的通项公式是：21212222nnna222121(1222)n23(22nn2221)112121212nn1(21)(21)nn1322n，2(312)(322)(322)nS+…1(322)n213(1222)2nn3(12)2323212nnnn5