数列的极限教学设计

第三节数列的极限西北师范大学数学与统计学院汪媛媛引言：极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”，有一段名言：“一尺之棰,日截其半,万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上.极限方法又是研究函数的一种最基本的方法.本节将首先给出数列极限的定义.分布图示★极限概念的引入★数列的定义★数列的极限★数列极限的严格定义★例1★例2★例3★例4★例5★例6★例7★例8★收敛数列的有界性★极限的唯一性★例9★子数列的收敛性★内容小结★课堂练习★习题1-3★返回教学目的：1．理解极限的概念，了解极限的,N定义；2．会用极限的严格定义证明极限.；3．了解极限的性质；教学重难点：理解掌握数列极限的概念内容要点一、数列的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A；再作内接正十二边形，其面积记为2A；再作内接正二十四边形，其面积记为3A；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126n边形的面积记为NnAn。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：.............321nAAAA它们构成一列有次序的数。当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以nA作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，nA终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为n，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时nA也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）.............321nAAAA当n时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数1x，第二个数2x，…这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数n有一个确定的数nx，那么，这列有次序的数..........321nxxxx就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第n项nx叫做数列的一般项。例如：11123(1)(2)248223411111(3)(4)11112482114(5)223nnnnnnnn，，，，，；，，，，；，，，，，；，，，，，；，，，，，都是数列的例子，它们的一般项依次为nnnnnnnn11112121，，，，。以后，数列..........321nxxxx也简记为数列nx。注：打印错误：L等为省略号。。。。。二、数列的极限如果数列nx，当n无限增大时，数列nx的取值能无限接近常数l，我们就称l是nx当n时的极限，记作，lxnnlim它的解析1．定义：如果数列nx与常数a有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得对于Nn时的一切nx，不等式axn都成立，则称常数a是数列nx的极限，或者称数列nx收敛于a，记为，axnnlim或naxn。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然。，11lim01limnnnnnN论证法，其论证步骤为：（1）对于任意给定的正数,令||axn；（2）由上式开始分析倒推,推出)(n；（3）取)]([N，再用N语言顺述结论.下面我们将学习数列极限的性质：三、极限的唯一性性质1（极限的唯一性）数列nx不能收敛于两个不同的极限。四、收敛数列的有界性性质2（收敛数列的有界性）如果数列nx收敛，那么数列nx一定有界。五、子数列的收敛性性质3（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列nx收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。例题选讲例1(E01)下列各数列是否收敛,若收敛,试指出其收敛于何值.(1)n2;(2)n1;(3)1)1(n;(4)nn1.解(1)数列n2即为,...2,...,8,4,2n易见,当n无限增大时,n2也无限增大,故该数列是发散的;(2)数列n1即为,...1,..,31,21,1n易见,当n无限增大时,n1无限接近于0,故该数列是收敛于0;(3)数列1)1(n即为,....)1(,..,1,1,1,11n易见,当n无限增大时,1)1(n无休止地反复取1、-1两个数,而不会接近于任何一个确定的常数,故该数列是发散的;(4)数列nn1即为,.....1,...,43,32,21,0nn易见,当n无限增大时,nn1无限接近于1,故该数列是收敛于1.例2(E02)证明.1)1(lim1nnnn证由nnnxnn11)1(|1|1，故对任给,0要使,|1|nx只要,1n即.1n所以，若取,1N则当Nn时，就有.1)1(1nnn即.1)1(lim1nnnn例3设Cxn(C为常数)，证明.limCxnn证因对任给,0对于一切自然数,n恒有.0||||CCCxn所以，.limCxnn即：常数列的极限等于同一常数.注：用定义证数列极限存在时，关键是：对任意给定的,0寻找,N但不必要求最小的.N例4证明,0limnnq其中.1||q证任给,0若,0q则;00limlimnnnq若,1||0q欲使,|||0|nnqx必须,ln||lnqn即,||lnlnqn故对任给,0若取,||lnlnqN则当Nn时，就有,|0|nq从而证得.0limnnq例5设,0nx且,0limaxnn求证.limaxnn证任给,0由,||||||aaxaxaxaxnnnn要使,||axn即要,||aaxn,limaxnn对,00a,0N当Nn时，,||aaxn从而当Nn时，恒有,||axn故.limaxnn例6用数列极限定义证明.323125limnnn证由于),1(3917)31(317323125nnnnn只要,3917n解得.31917n因此，对任给的,0取,31917N则Nn时，323125nn成立，即.323125limnnn例7(E03)用数列极限定义证明.112lim22nnnn证由于)3(2131122222nnnnnnnnnnn，要使,11222nnn只要,2n即,2n因此，对任给的,0取,2N当Nn时，有,11222nnn即.112lim22nnnn例8(E04)证明：若,limAxnn则存在正整数,N当Nn时，不等式2||||Axn成立.证因,limAxnn由数列极限的N定义知，对任给的,0存在,0N当Nn时，恒有,||Axn由于|,|||||||AxAxnn故Nn时，恒有,||||||Axn从而有,||||||AxAn由此可见，只要取,2||A则当Nn时，恒有2||||Axn.证毕.例9(E05)证明数列1)1(nnx是发散的证设,limaxnn由定义，对于,21,0N使得当Nn时，恒有,21||axn即当Nn时，,21,21aaxn区间长度为1.而nx无休止地反复取1，－1两个数，不可能同时位于长度为1地区间.因此改数列是发散的.证毕.注：此例同时也表明：有界数列不一定收敛.课堂练习1．设,0p证明数列pnnx1的极限是0.